匀变速直线运动位移与时间关系

首先其实我们之前有讲过在v-t图像当中，图线与横轴所围成的面积就是位移

其实这个知识长讲的有点超前，我们先详细解释一下这个知识

这是一段匀加速直线运动的图像，可以看到整体是梯形

原先有学过速度公式v＝△x/△t，转化一下得到△x＝v△t，由这个公式就能对应图中矩形的面积就是位移，当我们在这个梯形当中分的矩形越多越密集，其实矩形的面积也可以近似为梯形的面积，也就是梯形的面积表示位移

以此类推就能得到v-t图像中图线与横轴所围成的面积就是位移，这个知识点

有梯形的面积公式可计算，位移x＝½(v0＋v)t

再将上一期讲的公式v＝v0＋at带入

最后得到x＝v0t＋½at²

这个就是匀变速直线运动位移与时间的关系式

当初速度为0时，公式简化为 x=½at²

这个公式的推导不止这一种方法，还有v-t图像中计算面积的不同方法，很简单，如果大家需要可以在评论区留言，我会讲解这些推导方法

但是要注意，这个公式只适于匀变速直线运动

v＝v0＋at ， x＝v0t＋½at²

观察这两个式子当中都有时间t，那么联立就得到方程组，最后解得速度与位移关系式

v²－v0²＝2ax

一、连续相等时间T

1. 瞬时速度（第1秒末、第2秒末、第3秒末……）

由 v=at

v1=aT,v2=a2T, v3=a3T

v1:v2:v3=1:2:3

是各个时刻的速度，不是某一段里面的平均速度

2. 总位移（前1T、前2T、前3T……）

x=½at²

x前1T=½aT²

x前2T=½a(2T)²

x前3T=½a(3T)²

x前1T:x前2T:x前3T=1:4:9

3. 每一段时间里面的位移（第1个T内、第2个T内、第3个T内）

- 第1个T：x1=x前1T=1

​

- 第2个T：x2=x前2T－x前1T=4-1＝3

​

- 第3个T：x3=x前3T－x前2T=9-4=5

x1:x2:x3=1:3:5

这里带入的是比值，代原数算出来的结果是一样的

二、连续相等位移（每一段路程一样）

走完第一段、第二段、第三段花费的时间之比：

t1:t2:t3=1:(√2-1):(√3-√2)

推导：

x总=½at总² 得 t总=√2x总/a(√代表根号)

- 走完第一段 x：t1=√2x/a(根号下2x/a)

​

- 走完前两段 2x 的总时间：t总2=√2•2x/a(根号下2•2x/a)＝√2•√2x/a(根号二乘根号下2x/a)

单单第二段消耗时间 = 总2段 − 总1段

t2=√2•√2x/a－√2x/a=(√2-1)•√2x/a

同理第三段：t3=(√3-√2)•√2x/a

追及相遇核心：两个物体，后面追赶前面。当二者速度刚好一样这一刻，距离达到极大或者极小。

分两种经典场景

场景1：前面车速度比后面快，后面汽车从静止匀加速去追它

- 在还没相等之前：前车速度 > 后车速度

两个人之间距离还在不断拉大。后面虽然在加速，但此刻还是跑不过前面，差距越来越大。

- 刚好速度相等一瞬间：距离来到 最大值（相距最远）

- 之后：后车速度超过前车，两者距离开始缩小，后面慢慢追上。

场景2：后面物体速度一开始比前面快，后面物体匀减速追赶

- 在速度还没相等之前：后车速度 > 前车速度

两车不断靠近，距离持续变小

- 刚好速度相等一瞬间：距离来到 最小值（相距最近）

- 之后：后车速度已经小于前车，两车距离反而重新拉开，如果这一刻还没有追上，后面就再也追不上了！这里是有后车在保持匀减速运动前提下

所以：后方一开始更快，正在减速 → 速度相等，相距最近

做题两步走

1. 先算出速度相等需要多长时间 t，v后=v前

2. 分别算出此时此刻，两个物体各自位移，相减，得到最远或者最近距离。

超级大坑

先计算减速物体停止所需的时间。如果停下来的时间，比速度相等的时间还要小，那么临界点就是物体停下的时刻，而不是速度相等！

简单例题

A匀速向前，vA=4m/s，在前方。B在后方，初速度 vB0=10m/s，匀减速 a=-2m/s²追赶。

什么时候两车距离最近？

令 vB=vA

10-2t=4，算出 t=3 s

3秒这一刻，就是相距最近的时候。

之后B速度小于4m/s，两者又会分开。

首先第一个

中间时刻瞬时速度等于这段的平均速度

v̄ = v(t/2)(t/2为角标) = (v₀+v)/2

推导：

1. 末速度公式

v=v0+at

​

2. 中间时刻就是 t/2，求这时的速度 v t/2

vt/2=v0+a•t/2

= (2v0+at)2

因为 at=v-v0，代入进去

vt/2=［2v0+(v-v_0)］/2

=(v0+v)/2

​

3. 由这段匀变速的平均速度

v̄=x/t

再位移公式

x=v0t+½a t² 这个公式两边除以 t

v̄ =v0+½a t=(v0+v)/2

最后合并就得到原来公式

第二个通用推论大家读过前面几章都会非常熟悉

连续相等时间内位移差恒定

△x=aT²

想知道推导过程，可以看打点计时器那一章节

第三个通用推论区别于第一个通用推论，叫中间位置的速度公式

v(x/2) = √[(v₀²+v²)/2]

这个公式总体是由v²-v0²=2ax这个速度与位移关系式来的

假如总位移是x，那么可以分为两段，前半段为x/2，后半段为x/2

分别将前半段和后半段的数据带入到这个公式中

再联立两个方程，最后就得到我们这个中间位置速度公式

vx/2(角标)＞v t/2

不管匀加速还是匀减速，这个关系永远成立。

大家可以自己动手算一下，如果有不懂的可以评论区留言，我会出详细过程