全红婵的数学笔记 第55篇一元一次方程 章节小

全红婵的数学笔记 第55篇

一元一次方程 · 章节小结

全红婵的随想

初春的午后，阳光透过教室的窗户洒在我的笔记本上。一元一次方程的章节终于学完了，从最初的"等式两边同时加减"到现在的应用问题，这一路走来，我感受到了数学的美妙与力量。就像我们农村种地一样，从播种到收获，每一步都需要耐心和技巧...

一、知识体系梳理

1. 一元一次方程的定义

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。

标准形式：ax + b = 0 (a≠0)

判断下列方程是否为一元一次方程

(1) 2x + 3 = 7 （是，符合一元一次方程定义）

(2) x² + 2x = 5 （否，未知数最高次数为2）

(3) 3x + 2y = 6 （否，含有两个未知数）

2. 解方程的基本步骤

解一元一次方程的一般步骤可以用"去、移、合、化"四个字来概括：

去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数

去括号：注意括号前的符号变化

移项：把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边

合并同类项：将同类项合并

系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数

时空智者说

"数学解题如同农民播种，步骤乱了顺序，收获就会受到影响。古代巴比伦人在泥板上记录方程解法时，就已经认识到步骤的重要性。记住，在数学的世界里，顺序本身就是一种智慧。"

时空智者

你知道吗？早在公元前1600年，古埃及的莱因德纸草书中就记载了一元一次方程的解法。中国古代《九章算术》中的"方程术"更是系统地解决了多元一次方程组的问题。你现在学习的每一个步骤，都凝聚着几千年来数学家的智慧结晶。

二、重点难点突破

1. 去分母的技巧

去分母是解一元一次方程的第一步，也是最容易出错的环节。全红婵总结了几点注意事项：

不漏乘：方程两边每一项都要乘以最小公倍数

分子整体性：当分子是多项式时，去分母后要加括号

整数项处理：整数项的分母是1，也要参与运算

易错题分析

解方程：(x+1)/2 - (2x-1)/3 = 1

错误解法：漏乘整数项

正确解法：

1. 两边同乘6：6×[(x+1)/2] - 6×[(2x-1)/3] = 6×1

2. 化简：3(x+1) - 2(2x-1) = 6

3. 去括号：3x + 3 - 4x + 2 = 6

4. 合并同类项：-x + 5 = 6

5. 解得：x = -1

2. 含参方程的处理

当方程中含有参数时，需要特别注意参数对解的影响。

例题解析

关于x的方程 (m-1)x = m+2，讨论解的情况：

(1) 当 m-1≠0 即 m≠1 时，方程有唯一解 x = (m+2)/(m-1)

(2) 当 m-1=0 且 m+2=0 即 m=1 时，方程为 0x=3，无解

历史渊源

阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》中首次系统地讨论了各种类型的方程解法。他将方程分为六种基本类型，其中就包括一元一次方程。他的工作奠定了代数学的基础，"代数(Algebra)"一词正是来源于他著作的标题。

三、实际应用问题

1. 常见应用题型

一元一次方程在实际生活中有广泛应用，主要题型包括：

行程问题：相遇、追及、环形跑道等

工程问题：工作效率、合作完成时间等

利润问题：成本、售价、折扣、利润率等

分配问题：按比例分配、配套问题等

数字问题：数字的位值关系等

2. 解题方法总结

全红婵总结的应用题解题"四步法"：

审：仔细阅读题目，理解题意，找出已知量和未知量

设：合理设未知数，一般"问什么设什么"

列：根据等量关系列出方程

解：解方程并检验答案的合理性

工程问题实例

甲、乙两队合作20天可以完成一项工程。如果甲队单独做比乙队单独做少用9天，求两队单独完成各需要多少天？

解法：

1. 设甲队单独完成需要x天，则乙队需要(x+9)天

2. 甲队工作效率：1/x，乙队：1/(x+9)

3. 合作效率：1/x + 1/(x+9) = 1/20

4. 解得：x=36（舍去负解）

5. 答案：甲队36天，乙队45天

全红婵的思考

解应用题让我想起了帮家里算粮食收成的情景。每种类型的题目都有它独特的"等量关系"，就像不同的农作物有不同的生长规律。比如行程问题中的"路程=速度×时间"，就像计算播种面积和产量之间的关系。找到这个关系，问题就解决了一半。

3. 易错点警示

在解决实际问题时，全红婵特别提醒要注意以下几点：

单位统一：确保所有量的单位一致

合理检验：解得的答案是否符合实际意义

隐含条件：如"配套问题"中的数量关系

多解情况：有时需要讨论不同情形

易错题分析

某商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元。求这种服装每件的成本价。

错误做法：混淆标价与售价

正确解法：

1. 设成本价为x元

2. 标价：x(1+40%)=1.4x

3. 售价：1.4x×0.8=1.12x

4. 利润：1.12x - x = 15

5. 解得：x=125

智者的启示

"数学不是冷冰冰的符号游戏，而是理解世界的钥匙。一元一次方程教会我们的不仅是解题技巧，更是一种平衡的思维——就像天平两端的砝码，生活也需要这样的平衡。古希腊哲学家毕达哥拉斯说'万物皆数'，当你用方程解决实际问题时，你正在体验这种古老的智慧。"

四、章节总结与反思

1. 知识网络图

全红婵用思维导图整理了一元一次方程的知识结构：

一元一次方程知识网络

├─ 定义：ax+b=0 (a≠0)

├─ 解法步骤

│ ├─ 去分母

│ ├─ 去括号

│ ├─ 移项

│ ├─ 合并同类项

│ └─ 系数化为1

└─ 实际应用

├─ 行程问题

├─ 工程问题

├─ 利润问题

├─ 分配问题

└─ 数字问题

2. 全红婵的学习心得

通过这一章的学习，我深刻体会到：

基础步骤的重要性：就像盖房子需要先打好地基，解方程的每一步都不能马虎

逆向思维的培养：从问题出发，反推需要的条件和关系

检验习惯的必要性：每次解完题都要回代验证，避免粗心错误

一题多解的乐趣：有时一个问题可以有不同解法，拓展思维

我的数学老师常说："方程是描述世界的语言，而解方程就是理解世界的思考过程。"现在我开始明白这句话的含义了。每解决一个实际问题，就像打开了一扇认识世界的新窗户。

时空智者

你知道吗？笛卡尔发明坐标系就是为了将几何问题转化为代数方程。他曾经说过："一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程问题。"虽然这个观点有些绝对，但它表明了方程在数学中的核心地位。

3. 课后练习题精选

全红婵整理了一些代表性题目，用于巩固本章知识：

基础巩固

1. 解方程：3(x-2) - 2(2x-3) = 4(1-x)

2. 若关于x的方程 2x + a = 4x - 1 的解是x=3，求a的值

能力提升

1. 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，如何安排生产才能使每天生产的螺钉和螺母刚好配套？

2. 一艘轮船在A、B两码头之间航行，顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时。已知水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度及A、B码头之间的距离。