数学公式草图几何图形草图
一元一次方程复习题
全红婵的清华之路 · 第56篇笔记
全红婵
"今天整理一元一次方程的全部知识点和典型例题，为即将到来的期中考试做准备。方程就像生活中的问题，找到正确的解法，一切都会迎刃而解！" —— 全红婵
一、基础概念回顾
智者语录：方程之道，如大禹治水，不在堵而在疏。找到未知与已知的联系，便是解方程的真谛。——《数学之道》
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方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
示例：
① 3x + 5 = 8 （是一元一次方程）
② x² + 2x = 0 （不是，因为未知数的次数是2）
③ 2x + y = 3 （不是，因为有两个未知数）
全红婵的学习心得：判断一元一次方程要抓住三个关键点——一个未知数、一次方、等式。这就像我们村里筛选优质稻种，要看三个标准：颗粒饱满、无虫害、色泽均匀。
二、解方程的基本步骤
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解一元一次方程的一般步骤：
1. 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
2. 去括号（按去括号法则和分配律）
3. 移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项移到另一边，移项要变号）
4. 合并同类项（把方程化成ax=b的形式）
5. 系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a）
例题解析：解方程 2(x - 3) = 4x + 6
步骤1：去括号 → 2x - 6 = 4x + 6
步骤2：移项 → 2x - 4x = 6 + 6
步骤3：合并同类项 → -2x = 12
步骤4：系数化为1 → x = -6
智者
"古代中国人在《九章算术》中就已掌握方程的解法，比欧洲早了上千年。解方程如同解人生难题，需要步步为营，循序渐进。" —— 时空智者
三、典型应用题分类解析
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行程问题：甲乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2小时相遇，已知甲比乙每小时快2.5km，求乙的速度。
解题思路：
设乙的速度为x km/h，则甲的速度为(x + 2.5) km/h
相遇时总路程：2x + 2(x + 2.5) = 65
解方程：4x + 5 = 65 → 4x = 60 → x = 15
答：乙的速度是15 km/h
全红婵的联想：这让我想起每周从村里骑车到镇上的情景。如果知道总路程和速度差，就能计算出我们各自需要的时间。数学真的能解决生活中的实际问题！
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利润问题：某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这两件衣服售出后商店是赚还是亏？
解题步骤：
1. 计算第一件成本：设成本为x，x(1+25%)=60 → x=48元
2. 计算第二件成本：设成本为y，y(1-25%)=60 → y=80元
3. 总成本：48+80=128元；总收入：60×2=120元
4. 比较：128-120=8元 → 亏8元
数学格言：商业中的盈亏如同方程两边的平衡，唯有精确计算，才能明辨得失。——《商业数学》
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工程问题：一项工作，甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，现甲先工作1天后和乙共同完成余下的工作，问甲一共做了多少天？
解法：
1. 设剩余工作两人合作x天完成
2. 甲的工作效率1/4，乙的工作效率1/6
3. 总工作量：1/4 + (1/4 + 1/6)x = 1
4. 解方程：1/4 + 5/12 x = 1 → 5/12 x = 3/4 → x=9/5天
5. 甲总共工作：1 + 9/5 = 2.8天
四、易错点分析
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去分母常见错误：解方程 (x-1)/2 - (2x+1)/3 = 1
正确解法：
1. 找最小公倍数6，方程两边同乘6：
3(x-1) - 2(2x+1) = 6
2. 去括号：3x - 3 - 4x - 2 = 6
3. 合并：-x - 5 = 6 → -x = 11 → x = -11
常见错误：
① 漏乘不含分母的项（右边1也要乘6）
② 去括号时符号错误（特别是负号）
③ 移项不变号
全红婵
"刚开始学习方程时，我经常在去分母和去括号时出错。后来我总结了一个检查表，每一步完成后都核对一次，大大提高了准确率。学习就是这样，发现问题并改进方法才能进步！"
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实际问题建模：某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，超过部分按基本电价的70%收费。某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a。
建模与解法：
1. 设临界值a，则电费分为两部分：
不超过a的部分：0.4a
超过部分：(84-a)×0.4×0.7
2. 方程：0.4a + 0.28(84-a) = 30.72
3. 解方程：0.4a + 23.52 - 0.28a = 30.72
0.12a = 7.2 → a = 60
全红婵的生活应用：我家每个月的电费计算就是这样的分段计费。学会这个知识后，我能帮家里计算最优用电方案，避免超出第一档电量。数学真的能省钱！
五、综合练习题
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小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，只能看到：2x - □ = 3x + 5。老师告知此方程的解是x=-3，求被污染的常数。
解法：
1. 设被污染常数为c，方程为2x - c = 3x + 5
2. 已知x=-3是解，代入：2(-3) - c = 3(-3) + 5
3. 计算：-6 - c = -9 + 5 → -6 - c = -4
4. 解得：c = -6 + 4 = -2
数学哲理：如同这个被污染的数字，生活中很多真相隐藏在未知中。但只要有正确的方法和足够的线索，总能还原事实的本来面目。——《数学侦探学》
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A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听与书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
(1) 求随身听和书包的单价各是多少元？
(2) 某天恰好赶上商家促销，超市A所有商品八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元，如果他在一家超市购买看中的这两样物品，他应选择哪家超市更省钱？
第一问解法：
1. 设书包x元，则随身听(4x-8)元
2. 方程：x + (4x-8) = 452 → 5x=460 → x=92
3. 随身听价格：4×92-8=360元
第二问解法：
超市A总价：(360+92)×0.8=361.6元
超市B计算：先买随身听360元，返3×30=90元券
再用90元券买书包，实际支付360+(92-90)=362元
比较：361.6 < 362，选超市A更省钱
全红婵的思考：这道题让我明白，数学不仅能解出答案，还能帮助我们做出生活中的最优选择。就像我决定每天学习时间的分配一样，需要计算比较各种方案的优劣。
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