一元一次方程数学活动

全红婵的清华之路 · 第54篇学习笔记

全红婵

"今天我们要探索一元一次方程在现实生活中的应用，通过两个有趣的数学活动，我发现了数学与生活的紧密联系。这些活动让我对'建模'思想有了更深的理解——原来生活中的很多问题都可以转化为数学方程来解决！"

活动一：居民收入与物价变化

"数学是现实世界的钥匙，而方程则是这把钥匙上最精密的齿纹。"

——时空智者《数学沉思录》

在今天的数学活动课上，老师首先给我们展示了一则新闻报道：

统计资料表明，山水市去年居民的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%。

思考问题

山水市前年居民的人均收入为多少元？

在山水市，如果去年售价为1000元的商品价格上涨率与居民消费价格上涨率一致，那么该商品在前年的售价为多少元？

数学老师

"同学们，在解决这类问题时，首先要理解几个关键概念：'名义增长率'和'实际增长率'。名义增长率包含物价上涨因素，而实际增长率则扣除了物价上涨因素。"

问题1的解法

设山水市前年居民的人均收入为x元。

根据题意，去年的收入=前年收入×(1+名义增长率)

x × (1 + 8%) = 11664 1.08x = 11664 x = 11664 ÷ 1.08 = 10800

因此，山水市前年居民的人均收入为10800元。

全红婵在笔记本上画了一个思维导图，将名义增长率和实际增长率的关系清晰地表示出来，旁边还标注着："名义增长=实际增长+物价上涨"。

问题2的解法

首先需要计算物价上涨百分比。已知：

名义增长率 = 8%

实际增长率 = 6.5%

根据关系式：(1+名义增长率)=(1+实际增长率)×(1+物价上涨率)

1.08 = 1.065 × (1 + p) 1 + p = 1.08 ÷ 1.065 ≈ 1.014 p ≈ 0.014 = 1.4%

因此，物价上涨率约为1.4%。

设商品在前年的售价为y元：

y × (1 + 1.4%) = 1000 y = 1000 ÷ 1.014 ≈ 986.2

该商品在前年的售价约为986.2元。

"理解经济数据背后的数学关系，就像解开一个精心设计的谜题。每个百分比都讲述着一个关于变化的故事。"

——全红婵的学习笔记

活动二：杠杆平衡实验

实验材料：

一根质地均匀的木杆

若干个等重的小物体（如钩码）

细绳

实验步骤：

在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点

在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡

在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离

在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离

在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录

实验记录

"我们小组进行了5次实验，记录数据如下：左边1个重物时，距离支点40cm；右边1个重物距离支点40cm。左边2个重物时，距离支点约26.7cm；右边1个重物距离支点53.3cm。随着左边重物增加，平衡时左边物体离支点位置越来越近。"

发现规律

观察结论

通过实验数据，我们发现了一个重要规律：

左边距 × 左边小物个数 = 右边距 × 右边小物个数

即：n × a = b，其中n为支点左边物体的个数。

如图，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡。设木杆长为l cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm。把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程。

根据杠杆平衡原理：

左边力矩 = 右边力矩

n × x = 1 × (l/2 - x)

因为右边重物距离支点的距离为l/2 - x

整理方程：

nx + x = l/2 x(n + 1) = l/2 x = l / [2(n + 1)]

"阿基米德曾说：'给我一个支点，我就能撬动地球。'而今天，我们通过一元一次方程找到了那个神奇的支点位置。"

——全红婵的实验感想

学习总结

全红婵的学霸笔记

一元一次方程解决实际问题的步骤：

审题：理解题意，明确已知条件和要求解的问题

设未知数：合理设置未知数，通常问什么设什么

找等量关系：根据题意找出相等关系，这是列方程的关键

列方程：用数学表达式表示等量关系

解方程：运用等式性质解方程

检验：检查解是否符合实际意义

作答：给出问题的最终答案

今日收获：通过两个数学活动，我深刻体会到数学建模思想的重要性。生活中的许多问题都可以抽象为数学问题，而一元一次方程是最基础也最实用的工具之一。

时空智者

"亲爱的红婵，今天的实验让你触摸到了物理学中'力矩平衡'的雏形。记住，伟大的科学发现往往始于简单的观察和实验。你手中的木杆，正是阿基米德杠杆原理的缩影；而那个寻找平衡点的过程，恰如科学家探索自然规律的努力。"

全红婵在笔记的空白处画了一幅小漫画：一个女孩用杠杆撬起地球，旁边写着："用数学的杠杆，撬动知识的宇宙！"