第53章 实际问题与一元一次方程数学追梦人

数学追梦人

全红婵的清华之路 · 学霸笔记系列

第53章 实际问题与一元一次方程

清晨的阳光透过教室的窗户洒在桌面上，全红婵翻开数学课本的第五章第三节，手指轻轻划过"实际问题与一元一次方程"的标题。她回想起昨天智者在课间给她讲的一个故事：

"在古代巴比伦，商人们用泥板记录方程问题。有一个问题是：'一块土地的长度比宽度多5，面积是24，求长和宽'。这可能是人类历史上最早的实际应用方程之一。"

智者轻轻挥动手中的粉笔，"数学从来不只是数字游戏，它是解决现实问题的钥匙。就像你现在学习的方程，能帮你丈量田地、规划行程、计算利润..."

全红婵认真记下这段话，旁边画了一个小小的钥匙图案。她翻开笔记本，开始整理今天的知识点。

一、列方程解应用题的一般步骤

学霸笔记

全红婵用不同颜色的笔标注重点：审、设、列、解、验、答六个步骤缺一不可。她特别在旁边画了一个流程图，把每个步骤用箭头连接起来。

审题：圈出关键词，明确已知量和未知量。全红婵在笔记本上示范了一个例子，用荧光笔标记出"多"、"少"、"倍"等关键词。

设未知数：通常设为x，注意带上单位。她写了一个提示："遇到复杂问题时，考虑间接设元"。

列方程：根据等量关系建立方程。她在旁边画了一个天平，两边放着代数式，写着"平衡即等式"。

解方程：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤。全红婵特别标注了每个步骤容易出错的地方。

检验：既要检验计算是否正确，也要看答案是否符合实际意义。她记下："人数不能为负数或分数"。

作答：完整回答题目问题，包括单位。她举例示范了规范的作答格式。

"数学是宇宙的语言，方程就是这语言中最有力的动词。"全红婵在这句话旁边画了一个小宇宙的图案，里面有行星和恒星，其中一个行星上写着"x"。

二、常见问题类型与解题方法

全红婵把课本中的各类问题分类整理，每种类型都配有她的独家解题心得：

类型一：配套问题

某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺钉，列出正确的方程。

全红婵的思考过程：

1. 首先画出示意图，左边是螺钉生产，右边是螺母生产

2. 设x人生产螺钉，则(26-x)人生产螺母

3. 螺钉产量：800x；螺母产量：1000(26-x)

4. 根据配套关系，螺母应是螺钉的2倍：1000(26-x) = 2×800x

5. 简化方程：1000(26-x)=1600x → 26000-1000x=1600x → 26000=2600x → x=10

验证：10人生产8000螺钉，16人生产16000螺母，正好2:1比例 ✔️

类型二：行程问题

轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时。若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米。

全红婵的解题技巧：

1. 画线段图，标注A、B两港，顺流和逆流方向

2. 设距离为x千米

3. 顺流速度=船速+水速=28km/h；逆流速度=船速-水速=24km/h

4. 顺流时间=x/28；逆流时间=x/24

5. 时间差关系：x/24 - x/28 = 3

6. 解方程：通分得(7x-6x)/168=3 → x/168=3 → x=504

检验：顺流时间18h，逆流时间21h，差3小时 ✔️

关键公式：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度

"你知道阿基米德是怎么测量皇冠体积的吗？"智者突然出现在教室后门，手里拿着一个水杯。

"他用的就是等量关系——排开水的体积等于物体的体积。这就是最早的等积变形问题。"智者把一枚硬币丢进水里，水面微微上升。

全红婵灵光一闪，立刻在笔记本上记下这个例子，并画了一个皇冠的简笔画。

类型三：等积变形问题

内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，求玻璃杯的内高。

全红婵的创新解法：

1. 根据阿基米德的故事，理解体积相等的关系

2. 设玻璃杯高度为h mm

3. 玻璃杯体积：π×(120/2)²×h = π×3600h

4. 玻璃盆体积：π×(300/2)²×32 = π×22500×32

5. 建立方程：3600h = 22500×32

6. 解得：h = (22500×32)/3600 = 200

她特别标注："π在两边约去，计算更简单。单位要统一，结果要带单位mm。"

三、易错点分析与红婵心法

错题本

全红婵整理了她和同学们常犯的错误，每个错误都配有纠正方法和记忆口诀：

错误1：单位不统一

在行程问题中，速度用km/h，时间用小时，但距离有时误用米。

红婵心法：列方程前先统一单位，解完后再按要求转换。

错误2：忽略实际意义

解出人数x=8.5，没有检验是否合理。

红婵心法：解必须通过双重检验——数学正确性和现实合理性。

错误3：等量关系找错

在利润问题中，误把利润率当作利润占售价的比例。

红婵心法：利润率=利润/进价×100%，不是利润/售价。

"每个错误都是进步的阶梯。"全红婵在这句话旁边画了一个小梯子，每一级上都写着一个曾经犯过的错误，但梯子通向一颗金色的星星。

四、综合应用与思维拓展

全红婵不满足于课本例题，她找来课外题进行拓展训练，并发明了自己的"方程思维导图"：

综合问题：工程与利润结合

某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天。若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成。设甲、乙共用x天完成，列出方程。

全红婵的多元解法：

解法一：设总工作量为1，甲效率1/45，乙效率1/30

乙工作22天完成22/30=11/15

剩余工作量1-11/15=4/15由甲完成，需要(4/15)/(1/45)=12天

总时间x=22+12=34天

解法二：用x表示

乙工作22天，甲工作(x-22)天

(x-22)/45 + 22/30 = 1

解这个方程同样得到x=34

全红婵在旁边写道："多种解法互相验证，既能检查答案，又能锻炼思维灵活性。"

"中国古算经《九章算术》中的'方程'章，实际上是指线性方程组。"智者拿出一本古书复印件，"但古人用的'方程'与现代意义不同，他们用算筹排列成方形..."

全红婵听得入迷，在笔记边角画了一排算筹的图案，标注："这是中国古代的'矩阵'！"

整理完所有笔记，全红婵合上书本，窗外已是夕阳西下。她突然想到一个问题：如果太阳光到达地球需要约8分钟，那么如何用这个事实测量日地距离？

她在笔记本最后一页记下这个问题，旁边画了一个小太阳和地球，之间连着一条写着"x=?"的虚线。这是她给自己留的课后探索题。