1.1.2集合间的基本关系

老师同学们，今天咱们一起踏入集合间关系的奇妙领域，首先聚焦于子集的概念。倘若集合A中的每一个元素都能在集合B中找到踪迹，那么集合A便可称为集合B的子集，记作A⊆B。举个例子，若集合A为{1,2}，集合B为{1,2,3}，显然，集合A里的元素1和2皆在集合B之中，所以集合A是集合B的子集，是不是这样呢？

同学A对的，老师，那是不是只要集合A的元素全都出现在集合B里，集合A就能算是集合B的子集呢？

老师没错，而且子集包括两种情况，一种是真子集，一种是集合相等。真子集就是A是B的子集，但B里至少有一个元素不在A里，记作 A⫋B，比如刚才的A={1,2}就是B={1,2,3}的真子集。那如果A和B的元素完全一样呢？

同学A那就是集合相等，记作A=B！

老师对的。再看这个重要结论：如果集合A有n个元素，那它的子集个数是 2^n 个，真子集个数是 2^n - 1 个，为什么呢？比如n=2时，A={a,b}，子集有哪些？

同学A空集、{a}、{b}、{a,b}，一共4个，确实是 2^2=4 个，真子集去掉本身，就是3个，2^2 - 1=3。

老师没错，规律就是每个元素都有“在”或“不在”子集里两种可能，n个元素就有 2^n 种组合。非空子集就是去掉空集，所以 2^n - 1 个；非空真子集再去掉集合本身，就是 2^n - 2 个。记住这个结论，做题时直接用会很快。比如问{1,2,3}的非空真子集有多少个？

同学A2^3 - 2=6 个！

老师对的，掌握得很好。最后注意，子集符号 A⊆B 和真子集符号 A⫋B 的区别，相等的时候就是两者互相包含，A⊆B 且 B⊆A 就有A=B。这些概念是集合运算的基础，一定要理解清楚哦～

老师课堂小结：（1）如果集合A有 n个元素，那它的子集个数是 2^n 个，真子集个数是 2^n - 1 个，非空真子集2^n - 2 （2）A⊆B的意义：A 中的任一元素都属于 B （3）若 A⊆B 且 B⊆C ，则 A⊆C （4）若 A⊆B且 B⊆A ，则 A＝B （5）A⫋B的意义：A⊆B ，且 B 中至少有一元素不属于A （6）若 A⫋B且 B⫋C，则 A⫋C（7）A＝B的意义：A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A即A⊆B，B⊆A（8）空集没有元素，所以它是任何非空集合的真子集。

老师亲爱的读者，衷心感谢您耐心读完这份集合论的知识梳理！在数学的浩瀚星空中，集合论是连接抽象与逻辑的桥梁，而您愿意停下脚步，与我一同探索这些精妙的概念，这份关注与支持，让每一个严谨的定理、每一处细腻的解读都有了意义。无论是刚接触集合论的初学者，还是温故知新的探索者，您的阅读都是对知识分享的最大鼓励。未来，我们将继续打磨更多优质内容，期待与您在数学的奇妙世界中再次相遇，共同揭开更多知识的诗意面纱！