实践与综合应用(7)

6.差倍问题

差倍问题是已知两个数的差及这两个数的倍数关系，求这两个数的问题。

差倍问题的基本数量关系：

两数差÷(倍数-1)=标准数（1倍数）

两数差÷(倍数-1)×倍数=比较数（几倍数）

解答差倍问题的关键是找出两个数的差及倍数的差，求出1倍数是多少。在解答这类题时，往往是以较小数为标准数（1倍数）,再根据其他各数与标准数的倍数关系，求两个数倍数的差，有了两个数的差与倍数的差，就可以求出标准数（1倍数）是多少，然后再求出另一个数。

例8学校阅览室里有两个书橱，甲橱放的书是乙橱的3倍，甲橱的书借出170本，乙橱的书借出10本，这时两橱所剩下的书正好相等。求两橱原来各有书多少本。

分析 从条件中知，甲书橱的书是乙书橱的书的3倍，但甲书橱的书与乙书橱的书共有多少本为未知数，所以先求甲、乙两书橱的书共有多少本。假设乙书橱的书没有借出，那么甲书橱的书只借出（170-10)本，那么甲书橱的书比乙书橱的书多160本，这样书的本数差与倍数都具备，就可以求出两书橱的图书各有多少本。

解：(170-10)÷(3-1)

=160÷2

=80(本）

80×3=240(本）

答：原来甲橱有书240本，乙橱有书80本。

7.年龄问题

已知两个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系，或已知两个人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这类问题叫做年龄问题。年龄问题的主要特点是：大、小年龄之差是不变量。差是定值的两个量，同时加上或减去某一个数，它们之间的倍数关系也随着发生变化。

年龄问题往往又是和差、和倍、差倍问题的综合。解这类应用题应抓住其特点，认真分析数量关系，从而正确解答。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大、小年龄差÷倍数差一小年龄

几年前年龄=小年龄一大、小年龄差÷倍数差

例9 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后，母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？

分析 由6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78-6×2=66(岁）。6年前母子年龄和是66-6×2=54(岁）。再根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，然后再求出母亲今年的年龄。

解：母子今年年龄和：78-6×2=66(岁）

母子6年前年龄和：66-6×2=54(岁）

母亲6年前年龄：54÷(5+1)×5=45(岁）

母亲今年的年龄：45+6=51(岁）

答：母亲今年51岁。

8.行程问题

根据速度、时间和路程三者之间的关系，计算相向、相背和同向运动等有关行程的应用题，叫做行程问题。

这类应用题的特征是：已知速度、时间和路程中的两个量，求第三个量。常见的行程应用题有相遇问题、追及问题、行船问题、过桥问题等。

较复杂的行程问题还要注意理解“速度和”“速度差”以及行程中两车的出发时间，出发地点、运动的方向与运动的结果等四要素，才能正确解答有关问题。

(1)相遇问题

两个物体由于相向运动而相遇，这就是相遇问题，解答相遇问题的关键是求出两个运动物体的速度之和。

基本公式有：相遇时间=相遇路程÷速度和

相遇路程÷相遇时间=速度和

速度和×相遇时间=相遇路程

例10 一列快车和一列普通客车从甲、乙两个城市同时相对开出，快车每小时行90千米，普通客车每小时行48千米，经过2.5小时后，两列火车在途中相遇。甲、乙两城市间的铁路长多少千米？

分析 要知道甲、乙两城市间的铁路长多少千米，就必须知道两车的速度和与所行的时间。因为两车是相对而行，所以速度应是两车速度和，时间是两车的相遇时间，这样就可以求出甲、乙两城市间的铁路长了。

解：(90+48)×2.5

=138×2.5

=345(千米）

答：甲、乙两城市间的铁路长345千米。

(2)追及问题

如果一快一慢两个运动的物体同向而行，快的在后，慢的在前，快的追慢的，经过一定的时间追上，这就是追及问题。根据所给的条件不同，可分两种：

a.直接给追及距离的（同时不同地）。

b.间接给追及距离的（同地不同时）。

解答追及问题的关键是确定或求出追及距离和两个物体的速度差。

基本公式有：追及时间=追及距离÷速度差

追及距离=速度差×追及时间