关于quantale

一直对quantale理论，尤其是integral quantale颇感兴趣。

我了解到quantale这一类代数结构是在了解环的理想的乘法与加法时。当时我思考了一个问题：环的理想的行为（即在乘法与加法下的表现）会在何种程度上决定环本身的行为？

后来查到资料得知，环的所有（双边）理想的集合在乘法与加法构成了一个quantale，隧对这类结构产生了兴趣。

数学格论

Ouantale 理论是由 Mulvev 于1986年提出的”,其目的是为量子力学提供新的数学模型,已在环的理想、线性逻辑和理论计算机科学等领域中有着广泛的应用”。理想在代数结构的刻画中起着重要作用文献[5]将 Quantale 中序结构与代数结构相结合给出理想的新定义,进而得出了理想成为素理想的条件”利用模糊集和粗糙集，人们把序代数的理想推广至模糊理想和粗糙理想的情形，得到了若干重要结果（79）L-模糊集是模糊集的推广形式,文献[10]讨论了半环的 L-模糊理想的范畴的性质,文献[11]引入了 L-quan-tum空间。本文中，借助L-模糊集，在Quantale 中引入L-模糊理想的概念，将理想和模糊理想纳入到统一框架中。同时，讨论这些L-模糊理想的性质和等价刻画,以期促进 Quantale 理论更好地应用于理论计算机科学。

1 预备知识

为了方便起见，首先介绍Quantale、Quantale的理想和L-模糊集等概念，有关格论的知识，请参看文献[12]。

定义1[1]设Q是完备格，&是Q上的二元运算且满足：

(1)∀α，b.c∈Q，(α&b)&c＝α&(b&c)；

(2)∀α∈Q，|bᵢ|ᵢ∈ₗ ⊆ Q，α&(∨ᵢ∈ₗbᵢ)＝∨ᵢ∈ₗ.(α&bᵢ)，(∨ᵢ∈ₗbᵢ)&α＝Vᵢ∈ₗ(bᵢ&α)，则称(Q，&)是Quantale.

定义2[5] 设 l 是 Q 的非空子集，若

(1)∀α，b∈l，α∨b∈l；

(2)∀α∈l且b ≤ α，b∈l；

(3)∀α∈l，∀b∈Q，α&b，b&α∈l，则称 l 是 Q 的理想。进一步地，若 l ≠ Q，则称 l 是 Q 的真理想。

定义3[6] 设 l 是 Q 的理想，∀α，b∈Q，

(1)若 l ≠ Q 且当α&b∈l 时，α ∈ l 或b∈l，则称l 是 Q 的素理想；

(2)当α&α∈l时，α∈l，则称 l 是 Q 的半素理想；

(3)若 l ≠ Q，当 α&b∈l且 α ∉ l 时，存在正整数 n 使bⁿ∈l，则称 l 是 Q 的预理想。这里bⁿ＝b&b&· · ·&b。

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n个

定义4[5]设A ⊆ Q，称包含 A 的最小理想为由 A 生成的理想，记作〈A〉。特别地，当A＝|α|时，将〈|α|〉简记为〈α〉。

设X是非空集合，（L，≤，0，1)是完备格，这里0和1分别表示 L 的最小元与最大元，则称映射f：X→L为X上的L-模糊集[13]。X上的全体L-模糊集之集记作.𝓢 ʟ(X)。∀f，g ∈𝓢 ʟ(Q)，VxeQ，定义

(f∧g) (x)＝f(x)∧g(x).

(f∨g) (x)＝f(x)∨g(x)，

(f&g) (x)＝∨(f(y)∧g(z))，

y＆z＝x

f ⊆ g 当且仅当 f(x) ≤ g(x)。

设入λ∈L，定义xλ ∈ 𝓢 ʟ(Q)如下：

λ，y＝x，

xλ(y)＝{

0，y ≠ x，

则称 xλ 是 Q 的 L-模糊点。

设X＝│x₁，x₂，· · ·，xₙ│，将 X 上的L-模糊集f：f(x₁)＝α₁，f(x₂)＝α₂，· · ·，f(xₙ)＝α 𝓢 则 记为

α₁ α₂ αₙ

f＝──＋──＋──。

x₁ x₂ xₙ