Dedekind定理（证明确界存在性定理）

确界存在性定理：若实数列 {αₙ} 有上界，则其一定有上确界

证明：

1.若 {αₙ} 中存在某一项 αₘ 使得对任意的正整数 n ，都有 αₙ ≤ αₘ ，则此时显然 αₘ 即为 {αₙ} 的上确界

2.若不存在这样的项，我们作如下证明：

取集合B＝{y：y 是 {αₙ} 的上界 ，y∈ℝ}，集合 A＝{x：x 不是{αₙ} 的上界，y∈ℝ}，则显然两集合非空且 A∪B＝ℝ ，对于 A 中的任一元素 α ，其不是{αₙ}的上界，则必存在{αₙ} 中某一项 αᵣ 使得 α＜αᵣ ，又 {αₙ} ⊂ A，则任取 B 中的一个元素 b 必有 b ≥ αᵣ ，故 α＜b ，则集合 A，B 适合 Dedekind 定理的条件；

若A 中存在最大元，这与假设矛盾，故 B 中一定有最小元，其为 {αₙ} 的上确界 ▢