Dedekind定理

Dedekind定理：若存在集合 A，B 满足条件：

1.A，B ≠ ∅；

2. A∪B＝ℝ

3.对A 中的任意元素 α，B 中的任意元素 b ，都有 α＜b

则：

1.A 中无最大元， B 中有最小元；

2.B 中无最大元， A 中有最小元

有且仅有一个成立：

证明：假设 A 中不存在最大元且 B 中不存在最小元

取A 中任一元素 α₁，B 中任一元素 α₂ ，则

α₁＋α₂

────

2

一定落在 A，B 中的一个.若其落在 A 中，由于 B 无最小元，故一定存在整数 K 使得

α₂ – α₁

α₂ – ────

K

落在 B 中.

考虑将区间[α₁，α₂] K 等分，则一定存在相邻的两个分点使得左侧的在 A 中而右侧的在 B 中，记左侧的点代表的数为 α₃，右侧的为 α₄；再将区间 [α₁，α₂]K＋1 等分，类似得到 α₅，α₆ ...

这样我们就构造出了一个数列{αₙ}，它满足：

1.奇数项都在A 中，偶数项都在 B 中；

2.对于∀ϵ＞0，取

2(α₂ – α₁)

S＝[─────]＋2

ϵ

，则对区间[α₁，α₂] S S＋1，. . . 等分所形成的所有 {αₙ} 中的项，从中任取 αᵣ，αₘ，则一定有 |αᵣ – αₘ|＜ϵ 成立，故 {αₙ} 是 Cαuchy 列，其收敛

设{αₙ} → T ，则 T 一定落在 A，B 中的一个，不妨设其落在 B 中，则由于 B 无最小元，则一定存在 γ∈B 且 γ＜T ，则这时取 ϵ＝T – γ ，则一定有无穷多连续项落在 B(T，ϵ) 中，这与 {αₙ} 的性质矛盾！

若A 中存在最大元且 B 中存在最小元，则记 A 中最大元为 α，B 中最小元为 b ，则对于 α＞b，α＝b，α＜b 都容易推出矛盾 ▢