实数（一）

数学使徒（MathematicalApostle）

这篇文章我想总结一下我自己在数学学习当中看到过的三种构造实数的方法，或者叫做模型。我认为这些模型是整个微积分的的精髓所在，正是因为有了实数的这种构造性的解读，极限微分积分等操作才有了立足之地。

一、利用有理数的分割构造实数

饭要一口一口的吃，要构造实数还得先构造出自然数，整数，以及有理数。我最喜欢集合论对自然数的解读，它利用空集从无到有创造出了有理数以及它的序型。

1.1、自然数的构造

首先我们定义归纳集的概念：

定义1.1.1：我们称S(X) 为 X 的后续集，如果 S(X)＝X∪{X}，简言之就是在 X 上添加一个集合 {X} ，它只有一个元素——集合 X 。（集合也可以作为元素哟~）

我们称一个集合为归纳集，如果这个集合包含了空集，而且这个集合的所有元素的后续集都包含在其中。这就是最基础的无穷集合了，事实上，公理化集合论（ZFC）的其中一条公理无穷公理就是：归纳集存在！也就是说集合论中允许无穷集合的存在。

现在来定义自然数。人们对于0的解读往往是“什么也没有”，“空无一物”这是很符合直觉且朴素的理解，在集合论里我们将“什么也没有”解释为空集∅ ，所以自然的，我们将0解释为 ∅ ，即 0：＝∅，那什么是1呢？集合论里为了体现自然数的“计数”功能，将1解读为空集的后续集，就是1 ：＝∅∪{∅}＝{∅}＝{0}，后面的你应该也猜到了，我们将 2，3，4，· · · 分别解读为 {0，1}，{0，1，2}，{0，1，2，3}，· · ·

题外话：说实话我感觉这里的归纳集和另一个概念“传递集合”的定义有一点类似，传递集合X 定义为：X 的元素也是 Ⅹ 的子集，也就是 x∈X ⇒ x ⊂ Ⅹ 。利用传递集合可以定义序数和基数，传递集合可以是有限的，也可以是无限的，比如可以验证在集合论的意义下，每一个自然数既是序数也是基数。序数和基数可以用来衡量集合的势，这当然是后话了。

从归纳集的定义中我们看出，任何归纳集都包含空集，以及其各个后续集，所以我们可以将自然数集 ℕ 定义为所有归纳集的交集！也就是最小的归纳集！

定义1.1.2：自然数集 ℕ 表示所有归纳集的交集，其中的元素叫做自然数。

对自然数取后续集的操作自然就是我们熟知的＋1 了。那自然数如何比较大小呢？这就是在讨论自然数的序关系。我们知道 2＜3 ，怎么描述它呢？在集合论里面，我们将元素与集合之间的属于关系“ ∈ ”解释为自然数的序关系“ ＜ ”。 2＜3 解释为 2∈3 ，只要 3 看成是集合 {0，1，2} 就好。

自然数集合其实还有很多其他性质，比如线性有序，还可以利用自然数的定义描述归纳原理。这些都不是本文的重点了。下面我们来构造整数集。

1.2、整数集的构造

利用自然数集，我们能够进而定义整数集合。你可能会问，为什么还要定义整数集呀？整数集不就是整数集吗？这其中的理由和我们用集合论定义自然数是一样的：我们要用集合论从无到有构造出整个数系！

我是说，现在我们只有自然数集的定义，你要怎么描述整数的＋和 － 呢？它们又在集合论里对应着什么呢？

对于任意两个二元有序组(m₁，m₂) 和 (n₁，n₂) ，定义一个关系 ≈ₗ ，称两个二元有序组满足这个关系 (m₁，m₂)≈ₗ (n₁，n₂)，只有当 m₁＋n₂＝n₁＋m₂ 时成立，之所以用加法，是因为我们还没有严格定义减法“－ ”，如果不理解的话，可以移项 m₁ – m₂＝n₁ – n₂，我们也可以将这个关系称为“差值相等“[1]。

可以验证关系≈ₗ 为一个等价关系。什么是等价关系？只要满足三个条件，它就是一个等价关系：第一，自反性 m ≈ₗ m；第二，对称性，即若 m ≈ₗ n ，那么 n ≈ₗ m ；第三，传递性，即若 m ≈ₗ n ，且 n ≈ₗ l，那么 m ≈ₗ l 。

我们把与二元有序组(m，n) 按照 ≈ₗ 关系等价的所有元素组成的集合叫做 (m，n) 的等价类： [(m，n)]：＝{(i，j)∈ℕ × ℕ|(i，j)≈ₗ (m，n)}。

可以验证，所有形似(m，n)的二元有序组，要么与 (i，0) “差值相等”，要么与 (0，j) “差值相等”，其中 i，j∈ℕ。原因很容易理解，若 m ≥ n，那么 m – n＝i – 0＝i ，所以只要 i 为 m 与 n 的差值即可；若 m＜n，m – n＝0 – j， 所以只需要 j＝n – m 即可。

发现了吗？i 在有序组 (i，0) 中的位置蕴含了这个数的正负性！所以我们断定，所有二元有序组 (m，n) 组成的集合 ℕ × ℕ 可以依照关系 ≈ₗ 划分为两种等价类（它们的集合称之为商集），即： ℕ × ℕ/≈ₗ＝{[(i，0)]，[(0，j)]丨i，j∈ℕ}。

我们所说的整数集就可以定义为ℤ：＝{[(i，0)]，[(0，j)]丨i，j∈ℕ}。 其中的每一个元素叫做整数，它表示成一个等价类的形式。也就是说，我们将整数定义为自然数之间的差。

为了方便记忆，我们今后就将形似[公式] 等价类记作 i （或者＋1），比如

1：＝[1，0]，2：＝[(2，0)]，3：＝[(3，0)]，· · ·

–1：＝[0，1]，–2：＝[(0，2)]，–3：＝[(0，3)]，· · ·

这样就是我们熟知的整数集的样子了。

整数集上的序关系“＜”定义为， [(m₁，m₂)]＜[(n₁，n₂)] ⇔ m₁＋n₂＜n₁＋m₂ 。还可以类似的定义整数集上的加法，乘法这些运算。

1.3、有理数的构造

和整数集的定义类似，我们会将有理数集定义为整数的比。有理数的构造得依赖于整数的构造，令 ℕ⁺＝ℕ – {0}，也就是除去0以外的所有自然数集。对于二元有序组 {i，j} 组成的集合 。ℤ × ℕ⁺ ＝{(i，j)|i∈ℤ，j∈ℕ⁺}。我们又来定义一个关系 ≈Q ，称两个二元组 (m₁，m₂) 和 (n₁，n₂) 满足关系 ≈Q，只要 m₁ · m₂＝n₁ · m₂，就是说： (m₁，m₂) ≈Q (n₁，n₂) ⇔ m₁ · n₂＝n₁ · m₂ 。

同样，我们将有理数集ℚ 定义为集合 ℤ × ℕ⁺ 与等价关系 ≈Q 的商集， ℚ：＝ℤ × ℕ⁺/≈Q＝{[m，n]丨m∈ℤ，n∈ℕ⁺} 。里面的元素叫做有理数，它们是与 m，n 比值相等的所有二元组的等价类，这句话的意思就是说，一个数是有理数 x∈ℚ 当且仅当它能够写成整数的比值，即存在 m∈ℤ，n∈ℕ⁺ ，使得

m

──，

n

这样的 m，n 当然不止一个，所以这就是我们将有理数定义为等价类的原因（等价类就是这样的 m，n 组成的集合）。

同样的，为了今后我们便于记忆，我们将形如[(m，n)] 的等价类记成 m

──，

n

，也就是 m

──：＝[(m，n)]。

n

这就是我们熟知的有理数的表示方法了。

整数集上的序关系也可以用这个构造来定义，比如[(m₁，m₂)]＜[(n₁，n₂)] ⇔ m₁n₂＜n₁，m₂。

还可以类似的构造有理数的加法，乘法等后续运算法则。

1.4、实数集的构造

为什么古希腊人会向往有理数集？为什么毕达哥拉斯学派不承认无理数？我是这么理解的，如果世界上只存在有理数，那么世间的所有量都可以通过等分，然后与标准尺度比较准确度量。当我随便给你一个数，你都能够将它写成一个整数与另一个整数的比值，试想一下，这将会是多大的便利——任何数都是整数的等分！！！

但理想很美满，现实很骨感，人们还是发现，仅仅是有理数并不能将数轴填满，总存在无穷个间隙。这样，一种无论如何都不能写成整数的比值的数就诞生了，古希腊的数学家们认为这是人类理性的崩坏，是观念和理想的崩塌，自然不能接受。

但实数并不是理性的崩坏，人类理性最终还是拿下了实数这匹野马。戴德金分割是我见过最优雅的构造实数的方式。它将实数定义为有理数的分割！

设ℚ 为我们已经构造过的有理数集， ℝ 为我们将要构造的实数集合。我们称幂集 P(ℚ) 为 ℚ 的所有子集所构成的集合，即：

P(ℚ)：＝{X|X ⊂ ℚ}

一个集合A∈P(ℚ) 是一个实数，当且仅当 A 同时满足以下条件：

• A不是空集；

• A 有上界，就是说存在有理数 r∈ℚ ，使得对于任何 x∈A ，都有 x＜r；

• A 是左闭关的，这句话的意思是说，对于任何的有理数 α∈ℚ，如果有一个 b∈A，使得 α ≤ b ，那么 α∈A 。就是说 A 包含了所有在其范围内的有理数。

• A 中没有最大元，所以对于任意的 x∈A，总存在 y∈A ，使得 x＜y 。或者说 A 是一个开集。

这样我们就能够定义实数集了，实数集ℝ 定义为 ℝ：＝{A∈P(ℚ)|A}。

那么如何才能在这个定义里找到有理数呢？对于一个x∈ℚ ，定义 Aᵣ：＝{x∈ℚ|x＜r} ，这就是一个有理数 r 在 ℝ 中的定义！你可以检验一下，这个集合满不满足上面的四个条件。

我们发现，如果A 是一个有理数，那么一定存在一个 r∈ℚ ，使得 A＝Aᵣ，定义差集 ℚ – A：＝{x|x∈ℚ∧x∉A}，就是属于 ℚ 但不属于 A 的元素组成的集合，那么显然，集合 ℚ – A 有最小元，而且最小元为 r ，如若不然，还有更小的 s∈ℚ – A，使得 s＜r，根据实数 A 的定义，一定有 s∈A ，而这与“ s 属于 ℚ ，但不属于 A ”相矛盾，所以 r 一定是最小元。所以 A 是一个有理数当且仅当 ℚ – A 有最小元！！！

相对应的，一个实数A 是无理数，当且仅当 ℚ – A 没有最小元。

为什么说这个定义是有理数的分割呢？前面我们提到过光是有理数是不能将数轴填满的，总存在间隙。而有理数分割的含义，形象的说，就是将数轴一刀两断，并且用左边的那一半含有的所有有理数代表切到的实数。

实数的序关系可以直接用集合的包含关系得到，对于A，B∈ℝ ，称 A＜B 当且仅当 A ⊂ B 。

实数的序完备还可以直接从这个定义得到。什么是序完备？对于实数集的任意一个非空有界的子集合，一定存在一个最小的上界，称之为上确界；也一定存在一个最大的下界，叫做下确界。这就是实数集的序完备性。

如何从定义得到实数集的X 序完备性？考虑有两个实数 A，B∈ℝ ，怎么得到 {A，B} 的上确界呢，其实在这种情况下（有限），上确界就是最大元。我们发现，要么 A ⊂ B ，要么 B ⊂ A ，要么 A＝B ，所以只要作二者的并集 A∪B，这个并集就是最大元，也就是上确界了。

在一个一般的有界子集合X 中，我们也是用这种方法，作 Ⅹ 的所有元素的并集，我们记作 ∪X ，令 S＝∪X ，可以验证 S 符合我们对于实数的定义，实际上 S 就是集合 X 的上确界了。

这是可以证明的，如果我们假设S 不是集合 X 的上确界，那么一定存在一个比 S 更小的上界 S' ，使得 S'＜S＝∪X ，且对于所有的 A∈X ，都有 A＜S' ，这显然是不可能的，因为 S'＜∪X ⇒ S'⊂ ∪X ，而根据实数的定义，对于任意的 r∈S' ，一定存在 s∈S＝∪X 使得 r＜s ，只要构造一个有理数 Aₛ ，其中 Aₛ＜S，就能证明 S'＜Aₛ ，而这与“实数 S' 是集合 X 的一个上界”相矛盾。

如何证明下确界存在呢？你也许已经猜到了。还是考虑两个元素的子集合{A，B∈ℝ} ，如何求得其下确界呢？在有限的情况下，下确界其实就是最小元，所以只要取 A，B 的交集 A∩B ，容易验证这个交集满足实数的定义，而且这个交集就是下确界。

在一个一般的有界子集合Y 中，我们同样也是采取这个方法，取 Y 的所有元素的交集，我们记作 ∩Y （注意 ∩Y 的元素为 ℚ 中的有理数），接下来是很重要的一步，现在还不能说 ∩Y 是一个实数，因为在下面的例子中我们会发现 ∩Y 有可能有最大值！这就不满足实数的定义了！

我们令Y 为实数轴上的一个开区间，比如说 Y＝(A，B)：＝{C∈ℝ|A＜C＜B，A，B∈ℝ}，现在考虑当 A 是有理数的情况！也就是说存在一个 r∈ℚ，使得 A＝Aᵣ：＝{x∈ℚ|x＜r} 。我们有结论， ∩Y 有最大元 r ！

这是为什么呢？因为Y 是一个开区间，所以 Aᵣ 是不属于 Y 的，但是对于任意的 C∈Y ，我们发现 Aᵣ＜C ⇒ Aᵣ ⊂ C ⇒ r∈C，所以我们断定最终 r∈∩Y 。这样我们就只要证明 r 为 ∩Y 的最大元，即对于任意的 s∈∩Y ，有 s ≤ r 。假设不然，在 ∩Y 中存在比 r 更大的数，比如说 r'∈∩Y，使得 r＜r' ，所以 Aᵣ'∈Y ，按照 ∩Y 的定义，若 r'∈∩Y ，那么对于任何的 C∈Y ，都应该有 r'∈C ，然而这是不可能的，我完全可以找到一个数 r''∈ℚ ，使得 r＜r''＜r' （比如 r，r' 的中点），由此构造的实数 Aᵣ'' 也属于 Y，但 r' 就不再属于 Aᵣ'' 了。

从而根据反证法，我们就得知了r 一定是 ∩Y 的最大元，这样的话， ∩Y 就不再是一个实数了，这时，我们只要将这个最大元去掉就得到了所需的下确界（在这个例子中，下确界就是 Aᵣ）。可以验证，如果这里的 A 不是一个有理数，那么 ∩Y 就不再有最大元了，从而其直接就是下确界。

总结一下，一个一般的非空有界集合[公式] 的下确界为，

{∩Y ，∩Y

l：＝

{∩Y – {max(∩Y)}，∩Y

这样我们就证明了实数集的序完备性质！

关于戴德金分割的探索就先告一段落了，虽然这后面还有很多东西可以做，但这恰好不在我们的讨论范围内。

二、利用实数公理构造实数

实数集的构造不止戴德金分割一种，实数公理也是一种简洁而优美的方法，我在知乎的写的第一篇文章中提到过，现在摘抄在这里[2]。

2.1、实数公理

(l) 加法公理 确定了一个映射（加法运算）

＋：ℝ × ℝ → ℝ.

使得对于ℝ 中的任意二元 x，y 的有序对 (x，y) ，有某元 x＋y∈ℝ 与之对应，称 x＋y 为 x，y 之和，同时该映射满足以下条件：

1₊.存在中性元 0 （叫做加法零元），使得对于任何的 x∈ℝ，

x＋0＝0＋x＝x.

2₊.每个元 x∈ℝ 都有元 –x∈ℝ，叫做 x 的负元，使得

x＋(–x)＝0.3₊.

运算＋ 是结合的，即 ℝ 中的任何 x，y，z 满足条件

x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z.

4₊.运算＋是交换的，即 ℝ 中的任何 x，y满足

x＋y＝y＋x.

加法公理说明了ℝ 是阿贝尔群。

(ll)乘法公理 确定了一个映射（乘法运算）

•：ℝ × ℝ → ℝ.

使得对于ℝ 中的任何二元 x，y 的有序对 (x，y) ，有某元 x · y∈ℝ与之对应，称为 x，y 之积，同时该映射满足一下条件：

1．.存在中性元 1 ，使得对于任何的 x∈ℝ\0 ，

x · 1＝1 · x＝x.

2．.每个元 x∈ℝ\0 都有对应的元 x⁻¹∈ℝ\0 ，使得

x · x⁻¹＝1.

3．.运算 • 是结合的，即 ℝ 中的任何 x，y，z 都有

x · (y · z)＝(x · y) · z.

4．.运算 • 是交换的，即 ℝ 中的任何 x，y 都有

x · y＝y · x.

乘法公理说明了ℝ\0 关于乘法是一个群。

(l，ll)加法与乘法的联系 乘法对加法具有分配性，即对于 ∀x，y∈ℝ，

(x＋y) · x＝x · z＋y · z.

满足以上公理的任何集合是一个代数域，可想而知ℝ 就是一个代数域。

(lll)序公理 ℝ 的元素之间有关系 ≤ ，即对于 ℝ 中的任意元素 x，y 满足 x ≤ y，或者不满足。同时应满足以下条件：

1≤.∀x∈ℝ(x ≤ x).

2≤.(x ≤ y)∧(y ≤ x) ⇒ (x＝y)，

3≤.(x ≤ y)∧(y ≤ z) ⇒ (x ≤ z).

4≤.∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ((x ≤ y)∧(y ≤ x)).

这表示ℝ 中的任意两个元素之间能够比较大小，因这种性质我们称 ℝ 为线性序集。

(l，lll) ℝ 中的加法与序关系之间的联系 如果 x，y，z 是 ℝ 中的元素，那么，

(x ≤ y) ⇒ (x＋z ≤ y＋z).

(ll，lll) ℝ 中的序关系与乘法之间的联系 如果 x，y 是 ℝ 的元素，那么，

(0 ≤ x)∧(0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x · y).

(lV)完备(连续)公理 如果 X 与 Y 是 ℝ 的非空子集，且具有性质：对于任何 x∈Ⅹ， y∈Y，有 x ≤ y，那么，存在 c ∈ ℝ ，使得对于任何的 x∈X，y∈Y 有 x ≤ c ≤ y. 到此为止便是实数公理的所有内容，我们可以说满足以上公理的任何集合都被称之为实数集。

相比之下，实数集的公理化构造更加完善和简洁，实数的性质被更加清晰的展现出来。但不知道为什么，这种纯粹形式的构造总让我觉得有点恍惚，就好像一个人给你一个菜谱说这就是红烧狮子头一样。这是因为在这种构造中，我们更加关注的是实数集长什么样子，而不是其元素到底是什么，相当于宏观的角度审查实数集。

三、柯西序列构造实数

相比于前两种实数的构造方法，一个是利用数轴的分割定义实数，一个是专注于描述实数集到底长什么样子而建立的公理系统，两个都很简洁直观。柯西列的角度与此不同，柯西列是一种计算直观的构造，好歹也是实数的构造之一，所以就简略写在这里了[3]。

首先给出柯西列的定义：一个数列{αₙ} 被叫做柯西列，当且仅当对于任何 ε＞0 ，存在自然数 N＞0，使得任意的 m，n＞N，都有 |αₘ – αₙ|＜ε 成立。

那么由柯西列就可以定义实数了，我们把有理数的所有柯西列组成的集合叫做实数集。

ℝ：＝{{αₙ}丨{αₙ} }

参考

1. 参考冯琦的《数理逻辑导引》

2. 选自卓里奇《数学分析》

3. 参考陶哲轩《陶哲轩实分析》

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