不可数序数集的问题

你的思维还局限在潜无穷的领域。集合论入门的第一课就是教你怎么跨越无穷，在众多数学思维中，这几乎是不可避免的一步。

按照你的记号，Aₙ＝A\{m₀，· · ·，mₙ} 当n增大时越来越小，但你没有任何理由说 Aω＝∩∞A\{m₀，· · ·，mₙ} 是一个空集。

ₙ₌₀

而且它必然不是空集，这样我们又可以取 Aω 的最小元，记为 mω ，并 Aω₊₁＝Aω\{mω} ，… …，以此类推。这种“操作”不可能在任何一个可数步骤结束，因为 A 是不可数序数。

你可能会问是什么东西让我们有能力谈论无穷次“选取”，并做他们的交呢？这个东西就是无穷公理。康托第一次考虑超穷次“操作”是用的取导集，任给A ⊂ [0，1] ，令 A' 为A的所有聚点之集，类似的，我们可以取一个集合无穷次导集，但那也不意味着无穷次取导集后为空集，或者不再有孤立点，我们还可以继续对它取导集（但可以证明这种取导集操作对于闭集A肯定会在可数次后稳定）。