维塔利集合的构造

1.维塔利集合的构造

定义X ~ Y：若X – Y ∈ ℚ则 X 和 Y 属于同一个等价类°。从(0，1) 区间每个等价类中选择一个元素，组成的集合，称为维塔利集合，设该集合为V。

2.构造合法性分析

学界认为集合V 勒贝格不可测。如果承择公理°，该集合构造是合法的。

反对选择公理的人士认为：不描述出方法，就不能证明可以从非空集合中选择一个元素

选择公理确实难以给出严谨证明，但至少对于维塔利集合构造过程中的选择动作，我们可以描述出具体选择方法。

一般地，对于任意一个等价类Vₖ，其有一个确定的无理数因子k满足

∀υ ∈Vₖ，υ – k ∈ ℚ，则可以写成如下形式的集合Vₖ＝{q＋k|q ∈ ℚ，q＋k∈(0，1)}

要从每个 Vₖ 中选择一个元素 υ，即任选一个有理数q，并不难，因为对于任意的无理数 k 都有且只有1个整数 qz 使 0＜qz＋k＜1，每个等价类都选这个整数，令g＝—[k] 即可保证υ＝q＋k ∈ Vₖ 是从该等价类在 (0，1) 区间内选出的元素。

所以即使不承认选择公理，也无法拒绝维塔利集合存在的事实。

（如果反对者认为没有这样的条件为每个等价类定义一个k，那就是质疑Vitali给出的定义描述“从(0，1)区间每个等价类中...…”还没有说出“选择”2字，描述就已经出了问题，定义不明确，与选择公理无关，请联系Vitali本人）

3.维塔利集合不可测性

1

计算集合V 的测度α即为计算──，

∞

其中∞代表可列集的势，直观上该式计算结果为零。现有理论认为，根据测度可列可加性，

(0，1) 区间的测度 1 须由可列个 V 的测度求和得到，即

S＝α＋α＋α＋· · ·＝1

由于α＝0则S＝0

α＞0则 S 发散，因此这样的 α 不存在。

如果α的个数超过可列，α＝0是允许的，（如(0，1)区间的所有单元素子集测度都是0，加在一起的测度是1）；本式要求α的个数可列，那么不存在这样的实数α满足可列个α求和等于有限正数。

为了更直观说明，正态分布概率模型“允许x在（–∞，＋∞）取值，而

(x–μ)²

1 – ───

∫⁺∞₋∞ ───e 2σ² dx＝1，

√2πσ

其他一些概率模型也允许x在无限范围内取值，唯独均等概率模型不可以（不存在常数C满足

∫⁺∞₋∞ Cdx＝1）

为了表示维塔利集合的测度，在某些情况可以借用一个无穷小量 1

──|x→＋∞ 来表示， x

至少满足可列求和“后得到有限正数，但如果参与其他计算，可能需要一些措施保证这个无穷小量的相容性。