关于无界闭集的一些讨论

我们知道不可数正则基数的无界闭集有很多好性质，例如 κ 完全性。但无界闭集的这些“好”性质并不来自某些神奇的组合或者拓扑原理，事实上，每一个无界闭集都可以看作是某个函数的闭包。

定理 1 ：假设 κ 是一个不可数基数， f：κ → κ ，那么 Cf＝{α：∀β＜α(f(β)＜α)} 是无界闭集。

证明：定义 g(α)＝sup{f(β)：β＜α} ，由于 cf(κ)＝κ ，因此 dom(g)＝κ 。任选 δ＜κ ，令 gⁿ⁺¹(δ)＝g◦gⁿ(δ) 和 θ＝gω(δ) ，由于 κ 正则，因此 θ∈κ ，不难证明 θ 对 f 封闭，因此 Cf 无界。假设 Cf∩δ 在 δ 之下无界，那么 γ＜δ →∃η∈Cf(γ＜η) ，因此 f(γ)＜η＜δ ，则 δ∈Cf 。 ⊣

定理 2 ：假设 g：[κ]＜ω → κ ，那么 Cg＝{α：∀e∈[α]＜ω(g(e)∈α)} 是无界闭集。

证明：定义 h(α)＝sup{g(e)：e∈[α]＜ω} ，由 κ 正则性可得 dom(h)＝κ ，类似于定理 1 可证定理 2 成立。 ⊣

定理 3 ：若 f 单调递增且连续，那么 Cf＝{α：f(α)＝α} 是无界闭集。

证明：任选 δ＜κ ，令 δₙ₊₁＝f(δₙ)＋1 和 θ＝⋃ₙ δₙ ，由于 f(θ)＝supₙ f(δₙ)＝θ ，因此 Cf 无界；假设 Cf∩α 在 α 之下无界，由 f 连续性可得 α∈Cf ，定理成立。⊣