关于钻石原则的一些讨论

最近在思考钻石原则的一些性质，很好奇这个原则是如何被提出来的，幸运的是我在冯琦的集合论教材上找到了一点指引。

任选不可数正则基数 κ ，设 I 是 κ 上的一个理想，我们称 A，B∈𝕻(κ) 模理想相等当且仅当 A∩B∈I 。定义 NSκ 为 κ 上的全体非平稳集(non-stationary set)构成的集族，根据 κ 正则性可知 NSκ 是 κ 完全的理想。

根据Solovay的工作，我们知道对于任意不可数正则基数 λ 和 λ 的平稳集 S ， S 可以分裂为 λ 个不相交的平稳集的并，显然这已经是一个最好的结果了，毕竟 S 不可能分解为 λ⁺ 个不相交的平稳集的并；现在一个拓展的问题是：是否存在 ω₂ 个 ω₁ 的平稳集 {Sα}α＜ω₂ 满足 Sα∩Sᵦ∈NSω₁ ？有意思的是这个问题是独立于 ZFC 的，并且与某种大基数理论相关，下面我们证明：如果钻石原则成立，那么该问题的答案是肯定的。

定理：如果钻石原则成立，那么存在 ω₁ 的平稳集族 {Sα}α＜2ω₁ 满足 Sα∩Sᵦ∈NSω₁。

证明：令 ⟨Dᵧ：γ＜ω₁⟩ 是钻石序列。对于任意 X ⊆ ω₁ ，定义 Sₓ＝{α＜ω₁：X∩α＝Dα} ，根据钻石序列定义得 Sₓ 是平稳集。若 Sₓ＝Sʏ ，那么 X∩α＝Dα ↔ Y∩α＝Dα ，由于 Sₓ 无界，因此 ∀α∃β＞α(X∩β＝Y∩β) ，这就证明了 X＝Y ，因此 X↦Sₓ 是单射，这就证明了定理。⊣