特殊篇章（数学解释）九

L[U]中的GCH

我们之前在文章中证明了：如果 V＝L[A] ，那么GCH在某个足够大的序数 γ 中成立。这个定理可以进一步的加强：假设 U 是可测基数 κ 的正规完备超滤且 V＝L[U] ，那么 L[U]⊨GCH 。

证明：反证法，假设 L[U] ⊨ 2θ＞θ⁺ ，由于 L[U] 满足全局选择公理(global axiom of choice)，因此可以定义 X 是第 θ⁺ 个 θ 的子集。令 α 是最小的满足 X∈Lα[U] 的序数，那么有 |𝕻(θ)∩Lα[U]|≥θ⁺ 。令 η＞α 满足 U∈Lη[U] ，定义 P＝𝕻(θ)∩Lη[U] ，由于所有可测基数都是Ramsey基数且 P(θ)<κ ，根据文章，存在模型 A≺Lη[U]满足： A∩κ∈U 、 |A∩P|≤θ 、 |A|=κ 和 {X，U，α}∪θ⊆A 。令 𝕭≅𝕬 且 B＝π[A] ，根据凝聚性引理可得 B＝Lᵦ[π(U)] ，下面证明 π(U)＝U∩B ：由于 A∩κ∈U ，因此 π(κ)＝κ ；由于 U 是正规超滤，因此 π(ξ)≤ξ ，那么 Y＝{ξ：π(ξ)＝ξ}∈U ，现在假设 Z∈A∩U ，那么 π(Y∩Z)＝Y∩Z∈U ，因此 π(Z)∈U∩B ，所以 π(U)＝U∩B 。由于 π(U)＝U∩B ，因此 B＝Lᵦ[U∩B] ，即 B＝Lᵦ[U] 。

由于 θ⊆B ，因此 Y∈𝕻(θ)∩A → π(Y)＝Y∈B ，则有 |B∩P|≤θ ，但这是一个矛盾：一方面， π(X)＝X∈B ，由 α 的极小性可得 α≤β ，则 |Lᵦ[U]∩𝕻(θ)|≤θ ；另一方面有 |𝕻(θ)∩Lα[U]|≥θ⁺ ，矛盾，反证定理成立。⊣