特殊篇章（数学解释）五

ω范畴的等价条件：

定理：假设 T 是可数语言的完备理论，那么 T 是 ω 范畴，当且仅当对于任意自然数 n ，都有|Sₙ(T)|＝|{Γ(x₁，⋯，xₙ)⊇T：Γ(x₁，⋯，xₙ)极大一致}|＜ω 。

证明：假设 T 是 ω 范畴且可数模型 𝕬 满足 T ，如果 𝕭 是 T 的可数模型，则 𝕬 同构于 𝕭 。根据可数原子模型的引理知 𝕬 是 T 的可数原子模型。假设 Sₙ(T) 可数，那么 Sₙ(T)＝{Γᵢ(x→)}ᵢ∈ω 且 Γᵢ(x→) 是T的主型，即对于任意 i∈ω，存在 ψᵢ(x→)满足 T，ψᵢ ⊭ ϕ∧¬ϕ 且 ∀ϕ∈Γᵢ，T ⊨ ψᵢ → ϕ 由于 Γᵢ 极大一致，那么有 i≠j→ψᵢ ∉Γⱼ ，因此 T，¬ψᵢ₁，⋯，¬ψᵢₖ ⊭φ∧¬φ 。令 𝕬 ⊨T，¬ψ₁，⋯，¬ψₙ，⋯，同时令 Σ⊃T∪{¬ψᵢ}ᵢ∈ω 且 Σ 是极大一致公式集，不难发现∀i∈ω，Σ≠Γᵢ，这与假设矛盾，反证充分性。

下证必要性。如果Sₙ(T) 有限，那么 Sₙ(T)＝{Γᵢ(x→)}ᵢ≤ₖ 。定义这样一组公式： i≠j→ψᵢ∈Γᵢ∧ψᵢ∉Γⱼ，这组公式为何能存在？定义 ϕᵢ，ⱼ∈Γᵢ−Γⱼ ，那么令 ⋀ ⱼ≤ₖ ∧ ⱼ≠ᵢ ϕᵢ，ⱼ＝ψᵢ 即可。

下面证明：对于任意 Γᵢ中的公式 ϕ 都有 T⊨ψᵢ∧⋀ⱼ≠ᵢ，ⱼ≤ₖ ¬ψⱼ → ϕ 。否则存在 i≤k 和公式 ϕ∈Γᵢ满足T⊨∃x→(ψᵢ∧⋀ⱼ≠ᵢ，ⱼ≤ₖ ¬ψⱼ ∧¬ϕ)，但这是不可能的，因为令 Σ⊃T

∪{ψᵢ∧⋀ⱼ≠ᵢ，ⱼ≤ₖ ¬ψⱼ∧¬ϕ} 且 Σ 是极大一致公式集，那么Σ只有可能是 Γᵢ ，但那样 ϕ∧¬ϕ∈Γᵢ ，矛盾。因此如果 Sₙ(T) 有限，那么T的任意 n 型都是主型，因此任意满足T的可数模型都是T的可数饱和模型，由于可数语言完备理论的可数饱和模型同构，因此必要性成立。