特殊篇章（数学解释）六

σ完全性和超幂模型的秩：

我们知道如果 S 是一个集合且 U 是 S 的一个超滤，那么 V≺Vˢ/≡U ，但 Vˢ/≡U 是一个有秩的模型吗？关于这个问题我们有如下定理：

定理： U 是 σ 完全的，当且仅当 VS/≡U 有秩的。

证明：假设 U 是 σ 完全的，如果 Vˢ/≡U 是无秩的，那么存在一组函数 {fₙ}ₙ＜ω 满足 {x∈S：fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ，因为 σ 完全性，那么 ⋂ₖ∈ω{x∈S：fₖ₊₁(x)∈fₖ(x)}∈U ；因为 ∅∉U ，因此存在 x∈S 满足 f₀(x)∋f₁(x)∋⋯ ，这与 V 的正则公理矛盾，反证 Vˢ/≡U 有秩。

假设 U 不是 σ 完全的，那么存在 {Aₙ}ₙ∈ω 满足 Aₙ∈U∧⋂ₙ Aₙ ∉ U ，设 Bₙ＝Aₙ − ⋂ᵢ∈ω Aᵢ ，那么有 Bₙ∈U∧⋂ₙ Bₙ＝∅ ；进一步设 Cₙ＝⋂ᵢ≤ₙ Bᵢ ，那么有 Cₙ∈U∧⋂ₙ Cₙ ＝∅∧Cᵢ ⊇Cᵢ₊₁ 。

定义函数 gᵢ：Cᵢ → ω ，其中 gᵢ(x)=min{k−i：x∉Cₖ} ，对于其它 x∈S−Cᵢ，我们有 gᵢ(x)＝0 。注意到 gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x) 当且仅当 x∈Cᵢ ，因此 {x∈S：gᵢ₊₁(x)∈gᵢ(x)}∈U ，则 [g₀]∋*[g1]∋* ⋯ 在 Vˢ/≡U 成立，因此 Vˢ/≡U 是无秩的，定理成立。 ⊣