Martin-Solovay马丁公理（假设与成立）篇章

Martin-Solovay定理：如果 MAκ 且 ⟨Dα：α＜κ⟩ 是零测集序列，那么 ⋃α Dα 是零测集。

证明：根据零测集定义，只需证明对于任意 δ＞0 ，存在开集 G⊇⋃α Dα 且 μ(G)≤δ 。定义偏序集

P＝{p⊆R：p是开集且μ(p)＜δ} ，定义 p≤q↔p⊇q 。下面证明 P 满足可数反链条件：任选 P 的不可数子集 W ，显然存在 T⊆W∧

|T|＞ω 和自然数 n 满足 p∈T→μ(p)＜δ−1。

—

ₙ

令 ⟨Iₖ：k＜ω⟩ 是全体“有限个有理开集的并”的枚举，不难证明：对于任意 p∈T 、都存在 Iₖ ⊆p 满足 μ(p−Iₖ)＜1

—

ₙ

，并且存在不可数子集 S⊆T 和 I′ 满足 ∀p∈S，μ(p−I′)＜1

—

ₙ

，任选 p，q∈S ，那么 μ(p∪q)≤μ(p−I′)＋μ(q−I′)＋μ(I′)＜δ ，因此 P 满足可数反链条件。

令 Aα＝{p∈P：p⊇Dα} ，不难看出 Aα 是稠密集：因为 Dα 是零测集，任选 p∈P∧μ(p)＜δ−1

—

ₙ

，那么任选q⊇Dα∧μ(q)＜1

—

ₙ ，

则 p∪q∈Aα 。根据马丁公理，存在脱殊滤 G 与每个 Aα 的交不空，令 U＝⋃G ，则 U⊇⋃αDα ，下面证明 μ(U)≤δ ：首先注意到存在可数集 H⊆G 满足 U＝⋃H ，此时如果 μ(U)＞δ ，那么存在 p₁，⋯，pₙ∈H 满足 μ(p₁∪⋯∪pₙ)＞δ （因为设 μ(p₁∪⋯∪pᵢ)＝sᵢ ，那么 {sᵢ}ᵢ＜ω 是单调递增序列，若 ∀i(sᵢ≤δ) ，那么 limᵢ sᵢ≤δ ）但 G 是脱殊滤，因此 p₁∪⋯∪pₙ∈G ，则 μ(p₁∪⋯∪pₙ)≤δ ，矛盾，反证定理成立。而 H 的存在性有以下论证支持：如果 (α，b)=⋃η＜λ(αη，bη)，那么对于任意自然数 n ，存在 αη，bη′ 满足 |α−αη|，|b−bη′|＜ 1

—

ₙ ；

实数轴上每个开集都可 ⋃ᵢ＜ω(αᵢ，bi) 的形式。 ⊣

推论：如果 MAκ 成立，那么任意 κ 个不交可测集 {Aα}α＜κ ，都有 ∑αμ(Aα)＝μ(∑α Aα) 。

证明：由于 {Aα}α＜κ 只有可数个集合的测度大于零，且 κ 个零测集的并还是零测集，因此推论成立。⊣