Martin Axiom马丁公理的推论

定义 MA(κ) ：对于任意满足可数反链条件的非空偏序集 P 上的任意基数 ≤κ 的稠密子集族 𝕯 ，都存在泛型滤子(generic filter) G 满足 ∀Dα∈𝕯(Dα∩G≠∅) ，其中 κ＜c 。马丁公理： MA↔∀κ＜c(MA(κ)) 。显然 CH→MA ，因此此时不存在 ω＜κ＜c 。

马丁公理乍一看很难理解，但我们可以把它看作是力迫法的一种推广：我们使用力迫法时往往会用以下句子开头“设 M 是 ZFC 的可数传递模型，然后blabla”，由于 M 可数，那么力迫偏序 ℙ∈M 在 M 的稠密子集只有可数个，因此我们可以递归构造泛型滤子 G ：令 D₁，D₂，⋯ 是 M 中的稠密子集，从中选取元素满足 p₀≥p₁≥⋯ ，最后令 G＝{q∈P：∃n(q≥pₙ)} 即可。那如果 P 有不可数个稠密子集呢？此时如何保证泛型滤子存在？马丁公理应运而生。

本文将简要证明马丁公理的两个推论：不存在Suslin树以及 κ＜c→2κ＝c 。

定理 1 ：如果 MA(ω₁) 成立，那么不存在Suslin树。Suslin树是一棵 ω₁ 树，它满足可数反链条件且没有长度为 ω₁ 的树枝。

证明：假设 (T，＜) 是Suslin树，定义 T′＝{t∈T：|{s：s≥t}|≥ω₁} ，不难验证 T′ 为Suslin树且 ∀s∈T′∃t∈T′(t＞s) ；定义 ＜ 的逆关系 ≺ 为 t＜s↔s≺t ，定义 Dα＝{s∈T′：∃t∈Tα′(s≺t)} ，不难证明 Dα 是稠密子集；由于 MA(ω₁) ，因此存在泛型滤子 G 满足 G∩Dα≠∅ ，则 ⋃G 就是长度为 ω₁ 的树枝，反证定理成立。 ⊣

下面我们证明 κ＜c→2κ＝c ，为此，我们需要先引入一些概念引理。

称 ℑ⊆[ω]ω 为几乎不交族，当且仅当 ∀x，y∈ℑ(|x∩y|＜ω) 。

引理 1 ：若 ℑ 是极大几乎不交族，那么 ℑ 的基数不可数。

证明：反证法，假设 ℑ={Xᵢ}ᵢ＜ω ，由于 Xᵢ∩Xⱼ 是有限集，因此 Xₙ₊₁ − ⋃ᵢ≤ₙ Xᵢ 是无限集。令 Y₁＝min(X₁−X₀) 和 Yₙ₊₁＝min(Xₙ₊₁− ⋃ᵢ≤ₙ Xᵢ) ，定义 Y＝⋃ₙYₙ ，这样 Y≠Xₙ 且 Y∩Xₙ 是有限集，这与 ℑ 极大矛盾，反证引理成立。 ⊣

定义 Fₙ＝{Xᵢ}ᵢ≤ₙ ，注意到在上述证明过程中 ⟨Yₙ，Fₙ⟩ 满足如下特点：若 n＜m ，那么 ∀A∈Fₙ(A∩Yₘ＝Aₙ) ，换言之， Yₘ 并没有增加 Fₙ 中的自然数集子集的元素，这诱导我们给出一个偏序结构：令 ℑ 是无穷几乎不交族，定义 Pℑ＝{(s，F)：s∈[ω]＜ω∧F∈[ℑ]＜ω} ，定义 Pℑ 是偏序结构为：

(s，F)≤(t，G)↔s⊇t∧F⊇G∧(⋃G∩s⊆t)

不难看出 (s，F)，(t，G) 相容当且仅当 (⋃F∩t⊆s)∧(⋃G∩s⊆t) ，显然，这意味着 (s，F∪{x})≤(s，F) ；也不难看出 Pℑ 满足可数反链条件：假设 Q⊆Pℑ 是不可数集合，因此存在 s 、存在 F₀，F₁ 满足 (s，F₀)，(s，F₁)∈Q ，那么 (s，F₀∪F₁)≤(s，Fᵢ)，i∈2 。

引理 2 ：令 x∈ℑ 和 Dₓ＝{(s，F)∈Pℑ：x∈F} ，那么 Dₓ 是 Pℑ 的稠密子集。

证明：任选 (t，G) ，那么 (t，G∪{x})∈Dx 。 ⊣

引理 3 ：假设 y∈[ω]ω 满足 ∀F∈[ℑ]＜ω(|

y−⋃F|=ω) ，那么 Ey，n＝{(s，F)：y∩s⊈n} 是 Pℑ 稠密子集。

证明：任选 (s，F) ，由于 |y−⋃F|＝ω ，因此存在 i 满足 i∈(y −⋃F)∧i＞n ，那么 (s∪{i}，F)≤(s，F) 且 (s∪{i}，F)∈Ey，n ，定理成立。 ⊣

引理 4 ：假设 G 是 Pℑ 的滤子且 g＝⋃{s：∃F(s，F)∈G} ，如果 G∩Dx≠∅ 且 ∀F∈[ℑ]＜ω(|y−⋃F|＝ω) 以及自然数 n 都有 Ey，n∩G≠∅ ，那么 |g∩x|＜ω∧|g∩y|＝ω 。

证明：若 (t，H)∈G 且 (s，F)∈G∧x∈F ，若 (t，H)≤(s,F) ，那么 x∩t⊆s ，因此 g∩x⊆s ；由于对于任意自然数 n 都有 Ey，n∩G≠∅ ，令 (tₙ，Hₙ)∈G∧(tₙ∩y ⊈ n) ，那么 ⋃ₙ tₙ ⊆g ，则 g∩y 是无限集，定理成立。 ⊣

定理 2 ：如果 MA(κ) 且 |ℑ| 的基数是 κ ，那么 ℑ 不是极大几乎不交族。

证明：令 G 是 Pℑ 的脱殊滤子和 x∈ℑ ，根据引理 2 知 Dₓ 是稠密开集，因此 Dₓ∩G≠∅ ，由引理 4 可得 g∩x 是有限集，因此 g∉ℑ （因为 g∩g＝g 是无限集）且 g 与 ℑ 中的元素几乎不交。 ⊣

定理 3 ：如果 MA(κ) 且 ν⊂ℑ 是无穷真子集，那么存在 g 满足 ∀x∈ℑ(x∈ν↔|x∩g|＜ω) 。

证明：根据定理 2 知存在 y∈ℑ 满足 y∉ν∧∀x∈ν(|x∩y|＜ω) ，令这样的 y 构成集族 Y⊆ℑ ，因此 Dx,x∈ν 和 Ey，ₙ，y∈Y 都是稠密集，由 MA(κ) 知存在 G 是 Pᵥ 脱殊滤子，根据引理 4 知 x∈ν→|x∩g|＜ω 且 y∈Y→|y∩g|＝ω ，因此 g 即为所求。 ⊣

根据定理 3 ，我们可以定义 [ℑ]≥ω→2ω 的单射 ϕ ，其中 ϕ(ν)＝g ，这样就有 2κ＝2ω ，因此 MA(κ)→2κ＝c ，定理成立。

推论： c 是正则基数。

证明：否则 κ=cf(c)＜c ，那么cf(2κ)＝cf(c)＝κ ，矛盾，反证推论成立。⊣