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1. 实无穷和潜无穷的定义：
定义1：
定义2：
定义3：
2. 建立直觉印象
实无穷的例子
潜无穷的例子
直觉印象
3. 数学大家们的争论
4. 潜无穷和实无穷背后的世界观
5. 悖论
芝诺悖论
对芝诺悖论的分析
罗素悖论
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"无穷"有着无穷的魅力，所以我们争论至今！
人们接触到了无限，却又无力去把握和认识它。对此，希尔伯特曾深有感触地说道：
“没有任何问题能像无限那样，从来就深深地触动着人们的感情；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的智慧；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”
1. 实无穷和潜无穷的定义：
定义1：
潜无穷把无穷性对象看成一个永无止境的过程，强调其过程性； 实无穷则是把无穷性对象看成是完成了的整体，强调其完成性。
定义2：
与空间域有关的无穷，也就是与时域无关的无穷，是实无穷。 与整体时间有关的无穷，因为整体时间是没完没了的，因此是潜无穷。
定义3：
实无穷是一个超出所有有限量的固定的常量 潜无穷意味着一个增加到超出所有有限的限制的可变有限量
2. 建立直觉印象
看着上面定义的描述，一定有点蒙。接下来通过几个例子来尝试建立直观印象。
实无穷的例子
原子
从初中的化学课本上我们知道，原子（atom）指化学反应不可再分的基本微粒。
最早提出的原子是约公元前400年的德谟克利特，他肯定不知道化学，所以他提出的原子不是现在科学意义上的原子，而是哲学意义上的原子。
德谟克利特认为，万物的本原或根本元素是“原子”和“虚空”。“原子”在希腊文中是“不可分”的意思。德谟克利特用这一概念来指称构成具体事物的最基本的物质微粒。
原子是非常非常小，是“最小”的，没有“更小” 的， 如果我们把无穷小类比为原子，那么无穷小是一个数，并且比所有的小的数都小。
这种认知就是实无穷小。
• 无理数
无理数，比如√2是一个无限不循环小数。 也就是 1.4142135623730951⋯ 。使用十进制的方式来描述它，永远无法精确，只能接近，不可到达。但是它是一个数，它是多少呢？是√2！
如果你也这么认为它是一个数，那就是实无穷的理念了。
• 自然数集合
我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。
当我们把全体自然数看作一个集合时，那就是认为无穷个自然数，组成了一个静态的整体。这个整体的概念就是实无穷的概念
潜无穷的例子
通俗的例子
幼儿园两个孩童拌嘴争执比较谁的财富更多：“我有100块”“我有1000块”“我有10 000块”，最后，一个孩子想出另一种说法：“不管你有多少，我永远比你多1块！”，这个包含了某种永远达不到的潜无穷思想。
• 庄子之棰
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是一句古语，出自《庄子·天下》。这是典型的运动着的潜无限思想。
极限
若某数列{αₙ}无限趋于0，与0的差可以任意小，则0称为此数列{αₙ}的极限。
柯西对极限的定义，就是“无限趋近”的概念，这是典型的潜无穷的思想
直觉印象
通过以上的例子，简单总结一下实无穷和潜无穷的区别：
实无穷，就是“最”，最是有终点的、结束的、完成的！
潜无穷，就是“更”，更是永远进行时的，永远没有终点的。
3. 数学大家们的争论
公园前300年左右，亚里士多德最先提出要把潜无限和实无限区别开。但他认为只存在潜无限，而不承认实无限。对他来说，无限集合这个概念是不存在的，因为无限多个事物或要素不能构成一个固定的整体。由于亚里士多德的权威，潜无限思想在古希腊数学中占统治地位。
17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立微积分学。这一被形容为一支关于“无穷的交响乐”的理论最初是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。
18世纪末至19世纪初，实无限已开始被抛弃了，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。
19世纪中，康托尔在实无限的思想上建立了集合论。他把全体自然数看作一个集合时，把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，将这个装有所有自然数的袋子看作一个自足的和完整的实体。
4. 潜无穷和实无穷背后的世界观
实无穷的思想认为这个世界的物质不可能一直被切下去，最后总会有一个不可分的小量。既然有一个不可分的小量存在，那么这个世界的物质底层就是离散的，不是连续的。
潜无穷的思想背后的世界观是：这个世界是无限可分的，所以世界物质底层是连续的。
现实世界中，今天的物理学仅仅研究、描述所谓普朗克尺度（大约10⁻³⁵米，10⁻⁴⁴秒等）以上的事物。对于普朗克尺度以下的事物，不论是否有那样的事物（即不论是否时空在普朗克尺度上就已经是离散的了），今天的物理学家们还没有任何肯定的说法。
但是今天，我们常常用一些连续的数学模型，从宏观上描述在微观上明显地是有限和离散的事物，并且取得了很好的效果。
实无穷和潜无穷的争论会继续下去，但某一天或许就会变成统一的一个整体。
5. 悖论
无穷出现的地方，悖论就出现
芝诺悖论
阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟。
对芝诺悖论的分析
• 实无穷的观点来分析
对阿基里斯和乌龟之间的距离进行切分，切分到最后是一个“原子”的距离。这个原子距离不可再分。
那么切到原子距离的次数就不是无穷，而是有限次切分。
既然有限，当然可以阿基里斯可以跑完和乌龟之间的距离差，也就是能够追上乌龟。
“第1个原子距离”＋“第2个原子距离”＋· · ·＋“第n个原子距离”＝阿基果斯和乌龟之间的距离
有限次×原子距离≠无穷
• 潜无穷的观点来分析
对阿基里斯和乌龟之间的距离进行切分，可以进行无穷次切分。无穷次切分得到的距离为“无穷小”。
无穷次×无穷小（不一定等于）无穷│
根据现代极限的概念，阿基里斯追乌龟的这个数列求和，是一个收敛的级数。可以很轻松的追上。
• 芝诺悖论是怎么产生的？
同时使用潜无穷+实无穷就特别容易产生悖论
这里使用了潜无穷中无限可分，又用了实无穷的有限次，从而错误的得到了无穷的结果，所以得出了永远追不上的结论。
一个场景里同时使用
潜无穷＋实无穷≈悖论
罗素悖论
罗素在1903年提出，通俗的说是：
一个理发师说：“我只给本城所有不给自己刮脸的人刮脸。 ” 问题是：理发师能不能给自己刮脸？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸； 如果他给自己刮脸，他就属于“给自己刮脸的人”，他就不能给自己刮脸。
罗素是针对集合论提出的悖论：
一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
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