（额外篇章）强紧基数的等阶定义

强紧基数κ 的定义：对于任意 λ≥κ ， Pκ(λ)＝[λ]＜κ上存在精良测度（fine measure）。

定理：强紧基数与如下两个命题等价：“对于任意集合X ， X 上 κ 完全的滤子 F 可扩张为 κ 完全的超滤”、“任意语言Ըκ，ω 和命题集 Γ，如果 Γ 的任意基数＜κ 的子集 Γ' 可满足，那么 Γ 可满足”。不难看出强紧基数是对超滤子定理和紧致性定理的推广。

引理1：如果任意集合 X 上的 κ 完全的滤子 F 可扩张为 κ 完全的超滤，那么 κ 是强紧基数。

证明：令λ≥κ，令

Aα＝{x∈[λ]＜κ：α ∈ x} ，令

B＝{∩ξ＜β Aξ：β＜κ} ，最后令

F＝{x ⊆ [λ]＜κ：∃g ∈ B(x ⊇ g)}，不难证明 F 是 κ 完全的超滤子，根据假设令 ∪⊃F 是 κ 完全的超滤，显然 ∪ 是精良测度。⊣

引理2 ：如果 κ 是强紧基数，那么对任意语言Ըκ，ω 和命题集 Γ ，如果 Γ 的任意基数＜κ 的子集 Γ' 可满足，那么 Γ 可满足。

证明：用x，g，z 表示 Γ 的基数＜κ 的子集，令 𝕬ₓ 表示 x 的一个模型。类似于Ըω，ω，我们也可以证明 Ըκ，ω 的Los定理：令

𝕬＝∏ₓ 𝕬ₓ/≡∪，那么

𝕬 ⊨ ψ([f₁]，· · ·，[fᵢ])当且仅当

{x ∈ Pκ(Γ)：ψ([f₁](x)，· · ·，[fᵢ](x))}∈∪，其中 ∪ 是 Pκ(Γ) 是精良测度。由于 ∪ 是精良测度，任选语句 φ∈Γ ，都有 Bφ＝{x∈Pκ(Γ)：φ∈x} ∈∪，因此 𝕬 ⊨ Γ 。⊣

引理3 ：”任意语言 Ըκ，ω 和命题集 Γ ，如果 Γ 的任意基数＜κ 的子集 Γ' 可满足，那么 Γ 可满足”蕴含“对于任意集合 Ⅹ ， Ⅹ 上 κ 完全的滤子 F 可扩张为 κ 完全的超滤”。

证明：向集合论语言中加入常元∪，F 以及 X 的全体子集，我们用 cʏ，Y ⊆ X 表示 Ⅹ 的子集常元。定义如下语句集 Σ： c∅ ∉ ∪ ∧ cₓ ∈∪ ； cʏ ∈ F → cʏ ∈∪；∧ξ＜η cʏξ ∈∪ → c∩ξ＜η Yξ ∈∪，其中 η＜κ ； cʏ ∈∪∧cz ⊇ cʏ → cz ∈ ∪ ； cʏ ∈∪↔ cʏ－ʏ ∉ ∪。上述的每一个语句的长度都＜κ且没有出现无穷个变元，因此符合Ըκ，ω 的定义。下面证明 Σ 的＜κ的子集都可满足：任选 Σ' ⊂ Σ 且 |Σ'|＜κ ，由于 Σ' 出现的常元数＜κ ，不妨假设 Σ' 对子公式封闭。不难证明，存在一个赋值 l 使得所有出现在 Σ' 的形如 cʏ ∈∪ 的公式，都有 l (cʏ) ∈ F，根据选择公理，我们让 W ⊃ F 为一个超滤， W 就是 Σ' 的模型，因此 Σ 的＜κ 的子集都可满足，那么 Σ 的模型 M 满足 M ≅ X ，因此可以诱导出一个X上的 κ 完全的超滤∪ ⊃ F，定理成立。⊣