第266章 初识概率，于烟火日常读懂随机规律

天降学霸群，红婵儿从山村杀进清华

第266章 初识概率，于烟火日常读懂随机规律

暑气还盘旋在南方山间不肯散去，稻田一波接着一波翻涌着深绿的浪。结束排列组合公益课的第三天，红婵儿依旧驻扎在镇上的乡村中学，准备开启下一节公益大课，这一次要讲解的是人教版高中选择性必修第三册当中的随机事件与概率。排列组合是计算的工具，概率则是依托工具去判断事情发生可能性的大小，二者紧紧相连，也是高考数学大题当中经常组合出题的重难点。

回到清华校园的时候，她就曾经和同寝室的室友林晓聊起过概率这一部分的教学难点。

很多孩子只会死记硬背概率公式，遇到新颖的情境题直接无从下手，总觉得概率虚无缥缈，看不见摸不着，完全没办法和现实生活联系在一起。

林晓平日里也跟着红婵儿一起参与线上助学项目，对山区孩子的学情多少有些了解。

城里孩子尚且可以用抽签、抽奖、掷骰子这类例子去带入，但是山村里面很少有这类娱乐道具，你或许可以从他们日复一日的农事生活里寻找可以用来举例的素材。

二人讨论许久，依旧没能打磨出一套足够通俗完整的讲课思路，她们一同去找负责乡村教育课题的周教授请教。

周教授翻看着红婵儿写了一半的备课草稿，指尖轻轻点在概率定义那一行文字上面。

概率本质上就是对未知结果的预判，天上会不会下雨，今年收成好不好，撒下的种子能不能发芽，山里人每一天其实都在不自觉和概率打交道，不要把概率局限在习题册的骰子硬币之中，把课本知识放回他们熟悉的生活场景。

导师的点拨让红婵儿心里有了方向，可具体要怎么串联知识点，怎么由浅入深带着孩子们区分必然事件、不可能事件、随机事件，她心里依旧没有十足的把握。夜深人静，宿舍里面只剩下台灯微弱的亮光，她点开那个只属于自己的神秘空间群。这一次她没有直接抛出习题求解答案，只是像闲谈讲故事一般，把自己备课遇到的难题缓缓诉说，讲山区孩子很难理解抽象的随机概率，不知道该用什么样身边事例，撕开概率那层朦胧神秘的面纱。

群里面安静了一小会儿，四道跨越漫长岁月的思绪缓缓流淌而来，四位先贤如同围坐在一盏灯火之下，你一言我一语慢慢探讨，没有刻板的说教，只是分享各自看待世间随机现象的感悟。

高斯先开口，声音带着数学家独有的冷静。世人总以为随机代表毫无规律，实则不然，无数次重复发生的偶然之中，藏着恒定不变的规律。概率不是凭空猜测，是依靠大量重复试验总结出来的数字结果。

牛顿紧随其后缓缓诉说。世间力的运行大多有确定的因果，可一旦变量慢慢变多，结果就会走向不确定。风吹落树上的果子，不知道会滚向哪一侧，这便是随机，可只要观测次数足够多，就能统计出掉落方向大致的分布情况。

居里夫人的思绪柔和而沉静。就如同我当年提炼镭元素，每一次提炼实验不一定一次成功，失败是大概率事件，成功是小概率事件，一次次重复试验，慢慢摸清事件发生的可能性，这便是概率最朴素的应用。

达尔文带着山林草木独有的通透娓娓道来。大自然处处都是概率，一颗果树结出的种子，有的能破土发芽，有的会腐烂入土，一场虫害袭来，一部分树苗幸存，一部分枯萎死去，物竞天择的背后，本就是一场持续了千万年的概率演化。

一段段思绪落在心底，红婵儿脑海当中零散的备课思路一点点拼接完整。她不再执着于骰子、扑克牌这类经典例题，决定就地取材，利用山村随处可见的事物搭建整堂课的框架。回到家乡之后，她特意去往村口的农田边上，观察农户选种、晒谷，捡起大小差不多的十粒稻谷，一小捧晒干的油茶果，装进布袋子里面，当做课堂简单教具。

下午三点，公益课堂准时开课。教室里坐满了提前赶来的学生，不少孩子上完上一节排列组合课之后意犹未尽，早早搬好凳子坐在前排，满心期待这一堂新课。

红婵儿将布袋子摊开放在讲台之上，先没有急着翻开课本，拿起一粒饱满的稻谷放在手心。

大家先来想一想，春天把这一粒稻谷埋进泥土里面，它一定会长出苗吗。

台下学生七嘴八舌开始回答，有的说不一定，遇上干旱就长不出来，遇上暴雨也会烂在土里。

红婵儿顺着孩子们的回答慢慢引导。没错，种下稻谷，有可能出苗，也有可能不出苗，结果事先没办法百分百确定，像这种在一定条件之下，可能发生也可能不发生的事件，我们就叫它随机事件。说完她又抛出两个问题。太阳从东边升起是什么事件。石头丢进水里面一定会浮起来又是什么事件。

学生很快分辨出来，太阳东升一定会发生属于必然事件，石头浮起来绝对不可能发生，属于不可能事件。

她拿起白色粉笔，在黑板上工整写下三类事件的定义，一字一句慢慢拆解，先把最基础的概念牢牢夯实。很多同学做题出错，根源就是连事件的分类都没能分清，拿到题目直接去套公式，自然很容易出错。

基础概念讲完之后，她顺势引出频数、频率与概率三者之间的区别。

很多同学会把频率和概率混为一谈，二者完全不是一回事。我们撒下一百粒稻种，有八十七粒发了芽，八十七就是发芽这件事的频数，八十七除以一百得到零点八七，这是本次试验得到的频率。我们重复播种一千次，一万次，当试验次数无限放大之后，发芽频率慢慢稳定在某一个固定数字附近，这个稳定常数，才是发芽事件发生的概率。

后排一名戴着旧眼镜的男生皱起眉头，大胆说出心中的疑惑。

既然概率只是一个预判的数字，那就算一件事概率很大，也有可能不会发生，概率很小，也有可能会发生吗。

红婵儿走到男孩身旁，轻轻点头给予肯定。举一个最简单的例子，天气预报预报明天降雨概率百分之九十，大概率会下雨，但是依旧存在滴雨不下的可能性。村里山上遭遇山体滑坡的概率很小，属于小概率事件，可一旦遇上连续暴雨，依旧有可能发生。概率只能用来描述可能性大小，没有办法精准断定单独一次事件最终的结果。

讲到古典概型的时候，她结合上一节课刚刚讲完的排列组合，把知识点串联起来。古典概型需要满足两个前提，所有基本事件总数有限，每一个基本事件发生的可能性完全相等。计算古典概型概率，核心公式P(A)等于事件A包含的基本事件数除以全部基本事件总数，而分子分母的计数，就要用到昨天我们练习的排列与组合。

她以采摘山上油茶果作为例题，假设袋子里面装有六个成熟油茶果，四个未成熟油茶果，随机取出两颗，求取到两颗全部成熟油茶果的概率。她带着孩子们一步步拆解，先算出全部取两颗果一共多少种组合，再算出两颗都是成熟果子的组合数量，二者相除，最终算出对应概率。

一道道贴合山村生活的例题依次推演，原本抽象冰冷的数字，慢慢变得鲜活具体。台下学生低头在草稿纸上跟着演算，沙沙的写字声响满整间教室，时不时有人举手提出自己演算过程当中遇到的卡点，红婵儿来回穿梭在课桌之间，弯腰一点点梳理解题步骤。

讲课中途，她把课堂上面学生频繁出错的几道典型题目简单整理，发送到神秘的空间群之中，想要听听四位先贤还有没有更深一层的思路点拨。

高斯缓缓传递思绪。学习概率切忌主观直觉去判断，人的直觉往往很容易欺骗自己，一定要依靠严谨的计数与大量试验得出结论，不要凭感觉猜答案。

牛顿补充提醒。做题一定要看清题干限制条件，区分有无放回抽取，放回与不放回，基本事件总数会发生改变，最终算出的概率结果完全不一样，审题千万不能粗心大意。

居里夫人说道，做科学实验，我们经常要计算实验成功的概率，单次试验偶然性极强，只有不断重复，剔除偶然带来的误差，才能够接近事件真实发生的概率数值。

达尔文感慨万千。生命演化本身就是一场漫长的概率博弈，有利变异只是小概率发生，可只要时间足够漫长，小概率事件，也能够慢慢改变整个族群。

吸收完四位先贤给出的思路，红婵儿重新站上讲台，重点强调审题当中最容易踩坑的易错点，区分放回取样和不放回取样，顺带引出互斥事件与对立事件。两个事件不可能同时发生，便是互斥事件。两个事件不仅不能同时发生，二者加起来便是全部情况，就是对立事件。对立一定属于互斥，互斥却不一定是对立。

她用山里采摘野果举例，一次随手摘下一颗果子，果子是成熟，和果子是不成熟，二者就是对立事件。摘下一颗是桃子，摘下一颗是李子，两件事不可能同时发生，但是山上还有梨子，二者只能算作互斥事件。

一层层知识点由浅入深铺展开来，原本晦涩难懂的概率大题，被拆解成一个个简单小问题，很多孩子脸上迷茫的神色渐渐消散，眼神慢慢透亮起来。

一晃两个多小时悄然流逝，课堂临近尾声，红婵儿在黑板上留下六道梯度练习题，从基础概念辨析，到古典概型综合计算题，留给学生当堂巩固练习。县一中的数学教研组长带着两名年轻教师，悄悄坐在教室后排全程听课，下课之后快步走上讲台。

以往我们讲概率，只能依靠教材上面的掷骰子例题，学生很难产生代入感，听完你的课我们才意识到，生活处处都可以变成理科课堂，回去之后我们教研组也要重新打磨概率这一章节的教学设计。

红婵儿连忙摆手，言语十分谦逊。我只是刚好生长在这里，熟悉这片土地上大大小小的日常，知识本身从来都不分城市与乡村，只是需要找到合适的载体传递出去。

夕阳缓缓坠落到群山背后，橘红色霞光铺满整条乡间小路。送走最后一批留下来问问题的学生，红婵儿独自沿着田埂慢慢散步，晚风带着稻谷淡淡的清香扑面而来。她拿出手机打开那个隐秘的空间聊天群。

今天整体授课还算顺利，只是少数基础极差的孩子，依旧很难区分频率和概率，还需要更多简单试验，让他们亲眼看见频率不断趋近概率的全过程。

高斯给出建议。可以组织一场简单的课堂小试验，重复几十次、上百次简单取样，现场记录每一组频率，把数据写在黑板之上，孩子们亲眼看见数字慢慢稳定，远比口头讲解更容易理解。

牛顿说道，规律藏在无数次重复之中，一次两次试验看不出端倪，可次数累积之后，随机背后的秩序便会慢慢浮现。

居里夫人缓缓说道，教书育人和做科学实验一样急不得，要给孩子们足够的时间慢慢观察，慢慢感悟，强求一蹴而就反而收效甚微。

达尔文轻声传递意念。山间草木岁岁枯荣，春种秋收反复轮回，一代代重复之中，藏着大自然不变的法则，学习道理亦是如此。

红婵儿站在田埂之上远眺连绵起伏的群山，恍惚之间想起很多年前，自己还坐在山村初中破旧的教室里面，数学成绩常年排在班级末尾，看见概率题目直接跳过，从来不敢动笔尝试。一次机缘巧合闯入这个跨越时空的学霸群，在四位先贤长久的启发之下，一点点打碎自己对理科畏难的心理，一步一步补齐知识漏洞，熬过无数挑灯刷题的夜晚，最终拿到清华大学的录取通知书。如今她再次回到这片生养自己的故土，不是为了炫耀取得的成绩，而是希望把自己学到的思维方法，带给更多被困在大山里面，找不到学习方向的少年。

假期结束，红婵儿重新返回清华园，她把本次概率公益课完整教案、课堂例题、课堂小实验设计方案全部整理完毕，发给周教授还有课题组一起做乡村助学项目的同学们。

周教授仔细读完完整备课材料，在课题组例会之上特意提起这件事。

红婵儿这套乡土化理科讲义，非常适合国内很多县域农村学校，接下来我们团队分工协作，把概率、统计整套专题完整开发出来，免费分享给全国各地乡村中学。

课题组的同学纷纷主动认领任务，有人负责搜集乡村生活素材，有人负责整理配套练习题，有人负责录制简易课堂示范视频，一群心怀同样理想的年轻人，朝着同一个方向并肩前行。

夜色漫过清华教学楼的玻璃窗，书桌之上摊开人教版高中数学课本，随机事件、频率、概率、古典概型一行行知识点静静躺在纸页之间。红婵儿提笔，在笔记本上面写下下一次回乡公益课的备课计划，接下来要带着山里的孩子们走进统计板块，读懂样本，读懂数据分析，于繁杂的数据之中，看清藏在偶然之下的客观规律，为大山里的少年，点亮一盏看见数理之美的灯火。