全红婵的清华学霸笔记第241篇二元一次方程组

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全红婵的清华学霸笔记

第八章 · 二元一次方程组 · 实际问题填空题专项解析

午后的阳光透过教室窗户洒在笔记本上，红婵揉了揉有些发酸的眼睛，将额前散落的碎发别到耳后。笔记本上密密麻麻写满了二元一次方程组的解题思路，每一道题都记录着她的思考过程。

"时空智者说：'数学就像一条河流，看似分叉的支流终将汇入同一片海洋。'红婵在这句话旁边画了一条蜿蜒的小河，河水分成两支后又重新汇合。就像二元一次方程组，看似两个未知数，最终总能找到统一的解。"

实际问题与二元一次方程组填空题精选

题目1（货币问题）

现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元，则其中面额100元的人民币有\_\_\_\_张，20元的人民币有\_\_\_\_张。

红婵的解题思路

设100元人民币有x张，20元人民币有y张。

根据题意列出方程组：

x + y = 33

100x + 20y = 1620

化简第二个方程：5x + y = 81

用第一个方程减去化简后的方程：(x+y)-(5x+y)=33-81

解得：-4x=-48 ⇒ x=12

代入x+y=33得：y=21

∴ 100元有12张，20元有21张。

"红婵想起村里小卖部的王阿姨经常要找零钱，这道题让她想到可以帮王阿姨设计一个最优找零方案。她把这种将数学应用于实际生活的想法记在笔记本边缘，画了一个小卖部的简笔画。"

题目2（古代数学问题）

《孙子算经》中记载：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦。则大马有\_\_\_\_匹，小马有\_\_\_\_匹。

红婵的解题思路

设大马x匹，小马y匹。

根据题意列出方程组：

x + y = 100

3x + (1/3)y = 100

将第二个方程两边同乘3：9x + y = 300

用新方程减去第一个方程：(9x+y)-(x+y)=300-100

解得：8x=200 ⇒ x=25

代入x+y=100得：y=75

∴ 大马25匹，小马75匹。

题目3（行程问题）

小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。她去学校共用了16分钟。假设上坡速度是3千米/时，下坡速度是5千米/时。则上坡路长\_\_\_\_米，下坡路长\_\_\_\_米。

红婵的解题思路

设上坡路x米，下坡路y米。

根据题意列出方程组：

x + y = 1200

(x/3000 + y/5000) × 60 = 16

化简第二个方程：(x/3000 + y/5000) = 4/15

通分后：(5x + 3y)/15000 = 4/15 ⇒ 5x + 3y = 4000

与第一个方程联立：

x + y = 1200

5x + 3y = 4000

解得：x=200，y=1000

∴ 上坡路200米，下坡路1000米。

"时空智者突然出现在笔记本边缘的插画中，他捋着长胡子说：'孩子，解题如行路，上坡虽慢但锻炼筋骨，下坡虽快却需谨慎。'红婵在这段话旁边画了一个爬山的小人，标注着'解题就像爬山，一步一个脚印'。"

题目4（购物问题）

小明购买5支签字笔和3本笔记本应付56元，而买3支签字笔和5本笔记本应付52元。则1支签字笔\_\_\_\_元，1本笔记本\_\_\_\_元。

红婵的解题思路

设签字笔每支x元，笔记本每本y元。

根据题意列出方程组：

5x + 3y = 56

3x + 5y = 52

使用加减消元法：

①×5：25x + 15y = 280

②×3：9x + 15y = 156

两式相减：16x = 124 ⇒ x=7.75

代入①：5×7.75 + 3y = 56 ⇒ 3y=17.25 ⇒ y=5.75

∴ 签字笔7.75元，笔记本5.75元。

红婵清华北大学霸笔记铺

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