变速快艇相遇解题技巧
数学之美 · 运动问题精解
核心概念
"数学不是关于数字、方程或算法的科学，而是关于理解模式的科学。" — 威廉·保罗·瑟斯顿
变速快艇相遇问题是运动学中相对复杂的题型，它结合了匀速运动和变速运动的特点。与简单的相遇问题不同，变速快艇问题需要考虑加速度对运动状态的影响，这使得解题过程更具挑战性。
关键洞察
解决变速快艇相遇问题的核心在于理解：当两艇速度相等时，它们之间的距离达到极值（最大或最小）。这个时刻往往是解题的突破口。
快艇A快艇B
解题步骤详解
1
建立运动模型
首先明确两艘快艇的运动状态：
初始位置和距离
初始速度（大小和方向）
加速度（大小和方向）
运动方向（同向或相向）
x(t) = x₀ + v₀t + ½at²
2
绘制运动示意图
画出两艇的运动轨迹图，标注关键信息：
初始位置和距离
速度方向
加速度方向
可能的相遇点
绘图技巧
使用不同颜色区分两艇，箭头表示速度和加速度方向，虚线表示可能的相遇轨迹。
3
建立位移关系方程
根据运动方向建立位移关系：
同向运动
|x₁(t) - x₂(t)| = Δx
当两艇同向运动时，距离变化取决于速度差。
相向运动
x₁(t) + x₂(t) = D
当两艇相向运动时，距离随时间减小。
4
寻找临界条件
变速运动中最关键的临界条件是两艇速度相等：
v₁(t) = v₂(t)
此时两艇之间的距离达到极值（最大或最小），这是判断能否相遇的重要依据。
5
求解方程
根据建立的方程求解未知量，注意：
时间t的物理意义（必须为正）
解的合理性验证
多解情况的物理意义
经典例题解析
例题1：变速快艇同向追赶
快艇A以初速度10m/s，加速度2m/s²追赶前方100m处以匀速15m/s行驶的快艇B。问：
A能否追上B？
若能追上，需要多长时间？
两艇最近距离是多少？
解题思路
1. 比较两艇速度相等时的位置关系
2. 若此时A已超过B，则会相遇两次；若恰好追上，则相遇一次；若未追上，则不会相遇
3. 最近距离出现在速度相等时刻
解：设t时刻两艇速度相等：10 + 2t = 15 ⇒ t = 2.5s 此时A的位移：x_A = 10×2.5 + ½×2×2.5² = 31.25m B的位移：x_B = 15×2.5 = 37.5m
因为初始距离100m，此时两艇距离：100 + 37.5 - 31.25 = 106.25m > 100m，说明A无法追上B，最近距离为106.25m。
例题2：变速快艇相向而行
两快艇相距200m，A以10m/s匀速向右，B从静止以4m/s²加速度向左运动。求：
两艇何时相遇？
相遇时各自的速度？
解：位移关系：10t + ½×4×t² = 200 化简得：2t² + 10t - 200 = 0 ⇒ t² + 5t - 100 = 0 解得：t = [-5 ± √(25+400)]/2 = (-5 ± 20.6)/2
取正解t ≈ 7.8s
相遇时B的速度：v = at = 4×7.8 = 31.2m/s
常见错误与技巧
错误类型正确做法技巧提示
忽略加速度方向明确加速度的正负方向建立坐标系，规定正方向
混淆同向和相向运动正确建立位移关系方程画图辅助理解运动方向
忽视速度相等临界点先分析速度相等时刻的情况临界条件是解题关键
不解合理性验证检查时间t是否合理负时间或无实解有物理意义
"数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。" — 罗素
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