快艇往返相遇问题精讲
多次相遇问题是行程问题中的经典题型，掌握其规律和解题技巧对提高数学解题能力至关重要。本专题将系统讲解快艇往返相遇问题的解题思路和常见题型。
一、基本概念与公式
快艇往返相遇问题属于两端出发多次相遇问题，其核心规律如下：
第n次相遇时，两艇共行驶的路程 = (2n-1) × 全程(S)
推导过程：
第一次相遇：两艇共行驶1个全程
第二次相遇：两艇共行驶3个全程
第三次相遇：两艇共行驶5个全程
...
第n次相遇：两艇共行驶(2n-1)个全程
重要推论
1. 相遇时间比：t₁ : t₂ : t₃ : ... : tₙ = 1 : 3 : 5 : ... : (2n-1)
2. 单艇行驶路程比：S₁ : S₂ : S₃ : ... : Sₙ = 1 : 3 : 5 : ... : (2n-1)
3. 速度不变时，路程与时间成正比
二、典型例题解析
1
基础相遇问题
甲、乙两艘快艇分别从A、B两码头同时出发，相向而行。甲艇速度为30km/h，乙艇速度为40km/h。两艇第一次相遇后继续前行，到达对方码头后立即返回。若第二次相遇点距离A码头60km，求A、B两码头之间的距离。
解题思路
设A、B两码头距离为S km。
第一次相遇时：
两艇行驶时间相同，路程比为速度比 30:40 = 3:4
∴ 甲行驶距离 = 3S/7，乙行驶距离 = 4S/7
第二次相遇时：
两艇共行驶3S（根据公式(2×2-1)S=3S）
甲行驶总距离 = 3S × (30/70) = 9S/7
乙行驶总距离 = 3S × (40/70) = 12S/7
分析甲艇行程：
从A到B行驶S，再从B返回行驶(9S/7 - S) = 2S/7
∴ 第二次相遇点距A码头 = S - 2S/7 = 5S/7
根据题意 5S/7 = 60 ⇒ S = 84km
答案：A、B两码头相距84千米
2
相遇次数问题
两艘快艇在相距90公里的两码头间往返行驶，甲艇速度为25km/h，乙艇速度为20km/h。两艇同时从两码头出发相向而行，问2小时内两艇会相遇多少次？
解题思路
两艇速度和 = 25 + 20 = 45 km/h
2小时共行驶距离 = 45 × 2 = 90 km
根据公式：(2n-1)S ≤ 90
代入S=90：(2n-1)×90 ≤ 90 ⇒ 2n-1 ≤ 1 ⇒ n ≤ 1
∴ 2小时内两艇只会相遇1次
注意：只有当两艇完成完整的往返运动时，才会出现多次相遇。本题中两艇在2小时内未能完成一次完整的往返。
答案：两艇在2小时内相遇1次
三、进阶应用
3
变速相遇问题
甲、乙两快艇从相距120公里的A、B两地同时出发相向而行。甲艇去程速度为40km/h，返程速度为30km/h；乙艇速度恒为25km/h。求两艇第二次相遇时，甲艇行驶的总距离。
解题思路
第二次相遇时，两艇共行驶3S=360km
设第二次相遇时间为t小时
分析甲艇运动：
从A到B时间 = 120/40 = 3小时
从B返回速度变为30km/h
分析乙艇运动：
乙艇始终以25km/h行驶，行驶距离 = 25t
两艇行驶距离之和：
情况1：甲艇未到达B码头
40t + 25t = 65t = 360 ⇒ t ≈ 5.54小时
但甲艇3小时即到达B码头，矛盾
情况2：甲艇已返回
甲行驶距离 = 120 + 30(t-3)
乙行驶距离 = 25t
∴ 120 + 30(t-3) + 25t = 360
解得 t = 6小时
甲艇总距离 = 120 + 30×(6-3) = 210km
答案：甲艇共行驶210千米
四、易错点分析
常见错误
1. 混淆相遇次数与全程数的关系：误认为第n次相遇共行驶n个全程
2. 忽视运动方向变化：快艇到达码头后速度方向改变，但速度大小可能不变
3. 计算单艇路程错误：未考虑往返时行驶的路程变化
4. 时间分配不当：未正确分配往返时间导致总时间计算错误
五、解题技巧总结
解题四步法
1. 确定模型：判断是两端出发还是同端出发
2. 应用公式：根据相遇次数确定总路程 (2n-1)S
3. 分析运动：明确每段运动的速度、时间和方向
4. 建立方程：根据总路程或时间关系建立方程求解
快速验证方法
• 检查相遇次数与总路程是否满足(2n-1)S关系
• 验证两艇行驶距离之和是否等于总路程
• 确认时间分配是否合理（特别是变速情况）
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