第38篇数学学霸笔记：相遇问题常见变形

相遇问题常见变形

探索数学中相遇问题的多种变化形式与解题技巧

基本相遇问题

相遇问题是指两个物体从不同位置出发，沿特定路径运动，最终相遇的数学问题。基本公式为：

相遇时间 = 路程 ÷ (速度₁ + 速度₂)

根据运动方向和路径的不同，相遇问题有多种变形，每种变形都有其独特的解题思路和方法。

解题要点

1. 明确运动方向（相向、同向）

2. 确定出发地点（同地、异地）

3. 分析运动路径（直线、环形）

4. 考虑运动结果（相遇次数）

四种基本变形

甲追上乙（同向追及）

两个物体从同一点或不同点出发，沿相同方向运动，速度快的追上速度慢的。

追及时间 = 初始距离 ÷ (快速度 - 慢速度)

甲乙同向而行

两个物体从同一点出发，沿相同方向运动，但速度不同，考虑多次相遇情况。

甲乙相向而行

两个物体从不同点出发，沿相反方向运动，考虑相遇时间和位置。

甲乙相遇后速度快的又返回

两个物体相遇后，速度快的物体折返，可能产生多次相遇。

示例分析

小明和小红从相距300米的两地同时出发，相向而行。小明速度为5m/s，小红速度为3m/s。问：

1. 他们何时相遇？

2. 相遇点距离小红的出发点有多远？

1. 相遇时间 = 300 ÷ (5 + 3) = 37.5秒

2. 小红行走距离 = 3 × 37.5 = 112.5米

环形相遇问题

在环形跑道中，相遇问题分为两种主要类型：

1. 环形相遇

两人从同一点出发，方向相反，沿环形跑道运动。

环形跑道周长 = 速度和 × 相遇时间

例题解析

一条环形跑道长400米，甲乙同时从同一点出发，相向而行。甲速6m/s，乙速4m/s。

问：第一次相遇时，甲跑了多少米？

相遇时间 = 400 ÷ (6 + 4) = 40秒

甲跑的距离 = 6 × 40 = 240米

2. 环形追及

两人从同一点出发，方向相同，速度不同。

环形跑道周长 = 速度差 × 追及时间

记忆技巧

相向而行用速度和，同向追及用速度差。

多次相遇问题

多次相遇问题分为两种类型：

1. 异地型

两人从路的两端同时出发相向而行，第n次相遇时两人走的路程和为(2n-1)倍全程。

2. 同地型

两人从路的一端同时出发同向而行，第n次相遇时两人的路程和为2n倍全程。

典型例题

甲乙在AB两地间往返，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇距B点60米，乙从A返回时走了10米第二次与甲相遇。求AB距离。

设AB距离为S

第一次相遇：S = (v甲 + v乙)t₁

第二次相遇：3S = (v甲 + v乙)t₂

解得：S = 170米

解题策略

1. 画出示意图明确运动轨迹

2. 根据相遇次数确定路程关系

3. 建立速度与时间的方程

4. 解方程求未知量