第24篇：解一元一次方程的实际应用案例

在实际生活中，一元一次方程有着广泛的应用。掌握解决实际问题的能力，是学习方程的重要目标。本讲将介绍多种实际应用场景，帮助同学们建立数学建模思想。

一、增长率问题

基本公式：

增长量 = 原有量 × 增长率

现在量 = 原有量 + 增长量 = 原有量 × (1 + 增长率)

某学校食堂这个月的大米购进量比上个月减少了5%，由于受疫情影响米价上涨，这个月购进大米的费用反而比上个月增加了14%，求这个月大米价格相对上个月的增长率。

设上个月价格为p元/吨，购买量为a吨

本月购买量 = a × (1 - 5%) = 0.95a

本月总费用 = p × a × (1 + 14%) = 1.14pa

本月价格 = (1.14pa) ÷ (0.95a) = (1.14/0.95)p ≈ 1.2p

解：设上个月米价为p，则这个月米价为1.2p，增长率为20%。

二、数字问题

数字表示方法：

两位数：十位a，个位b → 10a + b

三位数：百位a，十位b，个位c → 100a + 10b + c

一个两位数，个位的数字比十位上的数字大1，交换两位数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数。

设十位数字为x，个位数字为x+1

原数 = 10x + (x+1) = 11x + 1

新数 = 10(x+1) + x = 11x + 10

方程： (11x + 1) + (11x + 10) = 33 → 22x + 11 = 33

解：解得x=1，所以这个两位数是12。

三、日历问题

💡

在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7。可以设中间数为n，其上下左右分别为n-7, n+7, n-1, n+1。

爷爷快八十大寿，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说，在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄。求小明爷爷的生日。

设生日当天为n号

上下左右日期和为：(n-7) + (n+7) + (n-1) + (n+1) = 4n = 80

解：4n=80 ⇒ n=20，所以爷爷生日是20号。

四、行程问题

基本公式：

路程 = 速度 × 时间

顺水速度 = 静水速度 + 水流速度

逆水速度 = 静水速度 - 水流速度

一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，又从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，船在静水中的平均速度为27km/h，求水流的速度。

设水流速度为v km/h

顺流速度 = 27 + v

逆流速度 = 27 - v

路程相同：2(27 + v) = 2.5(27 - v)

解：54 + 2v = 67.5 - 2.5v ⇒ 4.5v = 13.5 ⇒ v = 3 km/h

五、工程问题

基本公式：

工作总量 = 工作效率 × 工作时间

通常设工作总量为1，各工作量的和等于1。

一项工程，甲队单独做14天完成，乙队单独做6天完成。发现甲队单独做几天后被调走，余下的工程由乙队单独做，两队前后共10天完成，甲、乙两队各做了多少天?

设甲做了x天，乙做了(10-x)天

甲效率：1/14，乙效率：1/6

方程： (x/14) + ((10-x)/6) = 1

解：解得x=7，所以甲做了7天，乙做了3天。

六、利润问题

基本公式：

利润 = 售价 - 进价

利润率 = 利润 ÷ 成本价 × 100%

打折：几折就是原价的百分之几十

某商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元。在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元?

设甲进价x元，乙进价y元

已知：y = x + 20

7x + 2y = 760 ⇒ 7x + 2(x+20) = 760 ⇒ x=80, y=100

总成本4400元，利润率20% ⇒ 总售价=4400×1.2=5280元

设甲a件，乙(50-a)件

80a + 100(50-a) = 4400 ⇒ a=30

30×100 + 20×乙售价 = 5280 ⇒ 乙售价=114元

解：每件乙商品的售价应为114元。

七、配套问题

某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产1200个螺钉或2000个螺母。一个螺钉需要两个螺母配对，为了使每天的产品刚好配对，需要分配多少名工人生产螺钉和螺母?

设生产螺钉的工人为x人，生产螺母的为(22-x)人

每日螺钉产量：1200x

每日螺母产量：2000(22-x)

配套比例1:2 ⇒ 2×1200x = 2000(22-x)

解：2400x = 44000 - 2000x ⇒ 4400x=44000 ⇒ x=10，所以10人生产螺钉，12人生产螺母。

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解题方法论

解决一元一次方程实际应用题的基本步骤：

审题：理解题意，明确已知条件和所求问题

设未知数：选择恰当的未知量设为x

列方程：根据数量关系建立方程

解方程：运用等式性质求解

检验：验证解是否符合实际意义

作答：完整规范地写出答案