2.3幂函数

老师同学们好！今天咱们要认识函数家族里一位超特别的成员——幂函数。请同学们想想，之前学过的函数都有啥呀？

同学A有一次函数，就是y等于kx加b那种；正比例函数是y等于kx；还有反比例函数，y等于k除以x。

老师特别棒！现在大伙瞅瞅这几个式子：y等于x，y等于x的平方，y等于x的二分之一次方，y等于x的负一次方，它们有没有啥一样的地方？

同学A我发现自变量x都在底数的位置，上面还都带着个指数！

老师完全正确！像这样，一般来说，要是函数写成y等于x的α次方，α是个固定的数，这样的函数就叫幂函数。这里x是自变量，α是常数，而且前面的系数必须得是1。那我考考大家，y等于2乘以x的3次方，这是幂函数吗？

同学A不是！因为它前面的系数是2，不符合幂函数系数得是1的要求。

老师没错！接下来咱们研究研究幂函数的图像。大家在草稿纸上分别画出y等于x，y等于x的平方，y等于x的3次方，y等于根号x （y等于x的二分之一次方 ），y等于1除以x （y等于x的负一次方 ）的图像，画完小组一起讨论讨论，看看能发现啥规律。（同学们画图、讨论）

同学A我发现这些图像都至少会经过第一象限。y等于x、y等于x的平方、y等于x的3次方还有y等于根号x的图像都很平滑，但是y等于1除以x的图像是断开的。

老师观察得真仔细！其实幂函数y等于x的α次方的图像，肯定会过第一象限，但不一定过第二、三象限。当α大于0的时候，图像会过原点，而且在0到正无穷这个区间里是递增的；当α小于0，图像不过原点，在0到正无穷这个区间里是递减的。尤其要注意y等于1除以x，它的图像在第一和第三象限，中间是断开的，因为x不能等于0。

老师那大家再琢磨琢磨，幂函数的奇偶性有啥规律？分析分析y等于x的平方和y等于x的3次方。

同学A对于y等于x的平方，把 -x代进去，f(-x)就等于 -x的平方，也就是x的平方，和f(x)一样，所以它是偶函数；y等于x的3次方，把 -x代进去，f(-x)等于 -x的3次方，也就是 -f(x) ，所以它是奇函数。

老师分析得太到位了！判断幂函数的奇偶性，和咱们以前判断函数奇偶性的方法一样，就看f(-x)和f(x)啥关系。一般来讲，α是偶数的时候，幂函数y等于x的α次方是偶函数；α是奇数，幂函数就是奇函数。不过也有特殊情况，比如y等于根号x （y等于x的二分之一次方 ），它的自变量x只能取大于等于0的数，定义域不关于原点对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数。

老师学幂函数就是为了解决实际问题。来看这道题：已知有个幂函数y等于f(x) ，它的图像经过点2，根号2 ，求这个幂函数的表达式。大家动手算一算。

同学A因为是幂函数，就设y等于x的α次方，把点2，根号2代进去，得到根号2等于2的α次方。因为根号2就是2的二分之一次方，所以α就等于二分之一，这个幂函数的表达式就是y等于x的二分之一次方 。

老师太厉害了！这种求幂函数表达式的方法叫待定系数法。先设出幂函数的一般形式，再把已知的点代进去算出α的值。再来一道题：比较3的0.2次方和2的0.2次方的大小。大家结合幂函数的增减性想想办法。

同学A可以把它们看成幂函数y等于x的0.2次方。因为0.2大于0，这个幂函数在0到正无穷这个区间是递增的。又因为3大于2，所以3的0.2次方大于2的0.2次方。

老师太牛了！用幂函数的增减性来比较大小是个特别重要的方法。大家以后做题，一定要先确定函数是不是幂函数，再分析它的性质，最后用这些性质解决问题。今天的课就到这儿，回去多做点练习题巩固巩固，有不懂的随时来问！