老师同学，咱今天聊聊对数函数哈。你先琢磨琢磨，对数函数的定义是啥样的？
同学A嗯……好像是y等于log以a为底x的对数，对吧？但具体条件有点模糊。
老师没错，对数函数就是y=logₐx，这里得注意哈，底数a必须大于0而且不能等于1，定义域呢是x>0。比如说log₂x，这里a=2，x就得是正数。那你能说说它的图像大概啥样不？
同学A是不是和指数函数的图像有关系啊？感觉好像对称之类的。
老师哎哟，你这思路对着呢！对数函数和指数函数y=aˣ互为反函数，所以它们的图像关于直线y=x对称。比如说当a>1的时候，对数函数的图像啥样？
同学A应该是从左到右往上升的吧？就像log₂x，x越大，y也越大。
老师对喽！当a>1时，对数函数在定义域(0, +∞)上是增函数。你看啊，log₂4=2，log₂8=3，x越大，y确实跟着涨。那要是0<a<1呢，比如a=1/2，图像和单调性又是啥样？
同学A这时候是不是反过来了？图像从左到右往下掉，是减函数？
老师没错没错！比如log以1/2为底x的对数，当x从1增大到4，y就从0降到-2，这就是减函数的特点。那你再想想，对数函数有没有啥特殊的点？
同学A是不是过点(1,0)呀？因为logₐ1=0，不管a是多少，对吧？
老师完全正确！不管底数a是大于1还是在0到1之间，对数函数都过(1,0)这个点，这是个关键的定点。还有啊，当a>1时，x越靠近0，y越往负无穷跑；x越大，y增长得越来越慢，但一直是增的。那0<a<1时呢，x靠近0，y往正无穷跑，x越大，y越往负无穷走，不过是递减的。
同学A老师，那对数函数的运算性质有没有和指数函数对应的呀？
老师当然有！比如说对数相加，logₐ(MN)=logₐM + logₐN，这就像指数函数里的乘法；减法呢，logₐ(M/N)=logₐM - logₐN，对应指数函数的除法。还有数乘性质，logₐMⁿ=n logₐM，和指数函数的幂运算对应。对了，还有换底公式，logₐb=(logₑb)/(logₑa)，比如算log₂5的时候，可以换成以10为底或者以e为底来算，特别实用。
同学A那有没有啥特殊的对数要记呀？
老师有啊，常用对数lg x，是以10为底的；自然对数ln x，是以e为底的，e大概是2.71828那个数。还有反函数的性质得记住，对数函数和指数函数互为反函数，所以它们的定义域和值域是反过来的，图像关于y=x对称。
同学A老师，我有时候分不清对数函数的单调性咋用，比如比较大小的时候。
老师这好办，比较两个对数大小，先看底数是不是一样。底数相同，直接用单调性；底数不同，就找中间量，比如和0或者1比。比如比较log₃5和log₂5，底数不同，你就想，当x=5时，底数越大，对数越小，所以log₃5 < log₂5。或者用换底公式换成同底数比较也行。
同学A哦，这样啊，明白了。那对数函数的定义域有没有要特别注意的？
老师当然有！对数里的真数必须大于0，遇到对数函数的题，第一步先看真数大于0的条件。比如求y=logₐ(x-1)的定义域，就得满足x-1>0，也就是x>1。这个可别忘了，不然容易出错
同学A好的老师，这些性质和注意点我得记下来，多做题练练。
老师对，多练练就熟了！对数函数和指数函数可是高考重点，把这些基础吃透，后面做题就顺畅了。
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