1.3.2奇偶性

老师同学们，今天我们来学习函数的奇偶性。首先，大家还记得函数的基本性质除了单调性，还有什么吗？

同学A老师，还有奇偶性！

老师对的，奇偶性是函数的另一个重要性质，它反映了函数图象关于原点或y轴的对称性。那谁能说说，什么样的函数是奇函数，什么样的是偶函数呢？

同学A奇函数好像是满足f(-x) = -f(x)，偶函数是f(-x) = f(x)对吧

老师非常准确！不过要注意，这里有个前提——函数的定义域必须关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，比如定义域是[1,3]，那还能谈奇偶性吗？

同学A不能，因为定义域不对称的话，-x可能不在定义域里，就没法比较f(-x)和f(x)了。

老师没错，定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提条件。接下来我们看具体例子，比如f(x) = x³，怎么判断它是不是奇函数？

同学A代入-x，f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)，所以是奇函数！

老师很好。那f(x) = x²呢？

同学Af(-x) = (-x)² = x² = f(x)，是偶函数！

老师那如果是f(x) = x³ + x呢？

同学A试试代入-x，f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = -(x³ + x) = -f(x)，也是奇函数！

老师对，这说明多个奇函数相加还是奇函数。那如果是f(x) = x² + 1呢？

同学Af(-x) = (-x)² + 1 = x² + 1 = f(x)，是偶函数。

老师不错。现在我们来总结一下奇偶性的定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，若f(-x) = -f(x)，就是奇函数；若f(-x) = f(x)，就是偶函数。另外，还有几个重要性质：比如奇函数如果在x=0处有定义，那么f(0) = 0，为什么呢？

同学A因为f(-0) = -f(0)，也就是f(0) = -f(0)，所以2f(0) = 0，f(0) = 0。

老师很好。再看图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。比如y = x³的图象过原点，关于原点对称；y = x²的图象关于y轴对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那它一定是奇函数吗？

同学A是的，因为图象对称意味着f(-x) = -f(x)。

老师对。那如果一个函数既是奇函数又是偶函数，会是什么样的呢？

同学A比如f(x) = 0，定义域关于原点对称时，既是奇函数又是偶函数。

老师没错，这种函数的特点是f(x) = 0，且定义域对称。接下来我们看奇偶性的运算性质：两个偶函数相加还是偶函数，两个奇函数相加是奇函数，对吗？

同学A比如偶函数f(x)=x²和g(x)=2，相加后h(x)=x²+2还是偶函数；奇函数f(x)=x和g(x)=x³，相加后h(x)=x+x³还是奇函数。

老师那如果一个奇函数和一个偶函数相乘呢？比如f(x)=x（奇函数）和g(x)=x²（偶函数），乘积h(x)=x³是什么函数？

同学A“h(-x) = (-x)³ = -x³ = -h(x)，是奇函数！

老师对，奇函数乘偶函数是奇函数。再比如偶函数乘偶函数，结果是偶函数；奇函数乘奇函数是偶函数，这些都可以通过定义推导出来。另外，大家要注意，判断奇偶性时一定要先看定义域是否对称，再验证f(-x)和f(x)的关系。比如这个函数f(x) = x + 1，定义域为R，是对称的，那它是奇函数还是偶函数？

同学Af(-x) = -x + 1，既不等于-f(x) = -x -1，也不等于f(x) = x +1，所以既不是奇函数也不是偶函数。

老师非常好。还有一种特殊情况，比如f(x) = 0，定义域为{0}，这时候它既是奇函数又是偶函数，因为定义域只有0，满足f(-0)=f(0)=0=-f(0)。这种情况虽然少见，但也要注意。接下来我们做个总结：判断函数奇偶性的步骤——第一步，看定义域是否关于原点对称；第二步，计算f(-x)，比较它和f(x)的关系，等于-f(x)就是奇函数，等于f(x)就是偶函数，都不等就是非奇非偶。另外，奇函数图象关于原点对称，偶函数关于y轴对称，利用图象也可以辅助判短！