1.3.1单调性与最值

老师同学们，上节课我们学习了函数的表示法和映射的概念，今天咱们来探讨函数的重要性质——单调性与最值。先请大家回忆一下，初中时我们学过一次函数和二次函数，它们的增减性是怎么描述的呢？比如 y = 2x + 1 和 y = -x^2 + 3 ，谁能说说它们的变化趋势？

同学Ay = 2x + 1 是一直递增的，随着x增大，y也一直增大；y = -x^2 + 3 开口向下，在对称轴左边递增，右边递减。

老师很好！这就是函数的单调性。数学上我们用更严谨的定义来描述——如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 x1 、x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f(x1) < f(x2) ，就说函数在这个区间上是增函数；反之，若 f(x1) > f(x2) ，就是减函数。比如二次函数 y = x^2 ，在 (-∞, 0) 上是减函数，在 (0, +∞) 上是增函数，对吧？

同学A对！老师，那怎么判断一个函数在某个区间是增还是减呢？除了看图象，有没有代数方法？

老师问得好！判断单调性常用定义法，步骤是“设点—作差—变形—定号—结论”。比如证明 f(x) = x^3 在R上是增函数，任取 x1 < x2 ，作差 f(x2) - f(x1) = x2^3 - x1^3 = (x2 - x1)(x2^2 + x1x2 + x1^2) ，因为 x2 - x1 > 0 ，x2^2 + x1x2 + x1^2 > 0 ，所以差为正，即 f(x2) > f(x1) ，得证。另外，以后学了导数，还可以用导数符号判断，导数正则增，负则减。

同学A刚才提到的区间“某个区间”，是不是说函数可能在定义域不同部分单调性不同？比如反比例函数 y = 1/x？

老师没错！反比例函数 y = 1/x在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别是减函数，但不能说在整个定义域上是减函数，因为跨区间时不满足定义（比如 x1 = -1 ，x2 = 1 ，x1 < x2 ，但 f(x1) = -1 < f(x2) = 1 ，反而递增了）。所以单调性一定要强调“在某个区间上”。

同学A那函数的最值和单调性有什么关系呢？

老师单调性是求最值的重要工具。比如增函数在区间端点处取得最值——若在 [a, b] 上递增，则最小值是 f(a) ，最大值是 f(b) ；递减则相反。但如果函数在区间内有增有减，就需要找“峰”和“谷”，比如二次函数的顶点就是最值点。比如 y = x^2 - 2x + 3 ，配方得 y = (x - 1)^2 + 2 ，在 x = 1 处取得最小值2，没有最大值，因为x可以无限大。

同学A那“最大值”和“极大值”有什么区别呢？之前好像听说过极值。

老师这是两个容易混淆的概念。最大值是函数在整个定义域或指定区间上的最大函数值，是全局概念；而极大值是函数在某一点附近的局部最大值。

老师课堂小结：单调区间先划分，定义证明步骤清；最值需看定义域，单调区间定端点，极值局部最值全，数形结合更直观。通过本节课，我们从直观图象到严谨定义，理解了函数的单调性与最值的本质，后续还会结合导数深入学习更高效的判断方法。大家课后要多练习定义法证明！