不精确的概率

除此之外，行为主义者无法理解以下事实：无与伦比的商品对微小的改进不敏感。也就是说，如果 A 和 B 是两种你没有偏好的商品（例如，对概率不精确的命题下注），并且如果 A+ 是比 A 稍好的商品，那么它仍然可能与 B 没有可比性。这将不可比性与冷漠区分开来，因为冷漠的“联系”会被微小的改进所打破。因此，关于冷漠和不可比性之间不存在行为差异的说法是错误的。

卡普兰认为，违反完整性公理不仅是允许的，而且事实上有时是强制性的。

[M]拒绝你采用一组……[满足偏好公理]的偏好的要求是不准确的，原因并不常见。并不是说这种需求是人类无法满足的。因为如果这就是全部错误，那么需求可能仍然可以作为一种调节性理想发挥有用的作用——这种理想可以被合法地援引来让你“解决”你的决策问题，就像正统贝叶斯学派要求你做的那样。我对正统贝叶斯要求的抱怨是，它强加了错误的监管理想。因为如果你有[这样]一组偏好，那么你就对每个假设都有[p]的确定分配——然后你就没有给出应有的证据。 （卡普兰 1983：571）

他指出，拥有精确的信念并不总是不合理或不可能的：在这种情况下，精确可以作为一种规范的理想。精确的概率论确实仍然可以作为某种规范性理想，但它是理想主体在理想化证据位置上的信念。理想化的证据位置是通过您拥有已知偏差的硬币的情况来近似的。精确概率论者和知识产权的拥护者都同意精确概率论是一种理想化，也是一种规范性理想。然而，他们对于涉及何种理想化存在不同看法。精确概率主义者认为，阻止我们拥有精确概率信念的仅仅是缺乏计算能力和内省能力。不精确概率主义者认为，即使在这个意义上是理想的代理人，当他们不处于理想的证据位置时，也可能（并且可能应该）无法拥有精确的概率信念。

至少某些偏好公理不是规范性约束。我们现在可以问，在缺乏“纯结构性”（非规范性）公理的情况下可以证明什么？这无疑让我们了解信仰结构的真正需要是什么。

在两个选项之间不做出偏好似乎是可以接受的。或者说，不考虑两种可能性中的任何一种可能性比另一种可能性更大似乎是合理的。这些不同意某些判断的行为并不等同于认为所考虑的两个要素在任何实质性意义上都是平等的。也就是说，精确的概率论正在充当一种规范性的理想。也就是说，精确度可能仍然是一个未实现的（可能无法实现的）目标，它告知代理人如何提高他们的可信度。偏好的完整性是消息灵通的代理人应该具备的。如果没有完全偏好，标准表示定理就不起作用。然而，对于不完全偏好排序的每次完成（对于扩展不完全偏好关系的每个完整排序），定理如下。因此，如果我们考虑一组概率函数，该函数表示不完整偏好的某种完成，那么我们可以认为该集合代表与不完整偏好相关的信念。对于每次完成，我们还获得了直到线性变换为止唯一的效用函数。本质上，这就是卡普兰的立场（见 Kaplan 1983；1996）。

乔伊斯（Joyce，1999：102-4）和杰弗里（Jeffrey，1984：138-41）都提出了类似的主张。沿着这些思路对比较信念进行特别详细的论证可以在 Hawthorne (2009) 中找到。事实上，这个想法有着悠久而杰出的历史，至少可以追溯到 B.O.库普曼（1940）。 I.J Good (1962)、Terrence Fine (1973) 和 Patrick Suppes (1974) 都沿着这些思路讨论了想法。 Seidenfeld、Schervish 和 Kadane (1995) 给出了不满足完整性的偏好表示定理。 （参见 Evren 和 Ok 2011；Pedersen 2014；以及 Chu 和 Halpern 2008、2004；有关非常一般的表示定理）。

2.3 证据权重、证据平衡

证据影响信念。 Joyce (2005) 认为证据的权重和证据的平衡之间存在着重要的区别。他认为，这是精确概率学家难以处理的区别，并且这种区别值得代表。许多思想家都暗示过这一想法，包括 J.M.凯恩斯、鲁道夫·卡尔纳普、C.S.皮尔斯和卡尔·波普尔（参见 Joyce 2005 年的参考文献；Gärdenfors 和 Sahlin 1982 年）。以下是凯恩斯对直觉的阐述：

随着我们掌握的相关证据的增加，争论的可能性大小可能会减少或增加，具体取决于新知识加强了不利或有利的证据；但无论哪种情况，似乎都有一些增加——我们有更坚实的基础来得出我们的结论。我通过说新证据的加入增加了论证的分量来表达这一点。 （凯恩斯 1921：78，凯恩斯的强调）

考虑抛一枚已知公平的硬币。假设您已经看到了一百次抛掷的结果，其中大约一半是正面朝上。您对硬币正面朝上的相信程度应该在一半左右。这是一个信念背后有大量证据的案例。

现在考虑另一种情况：要扔一枚带有未知偏差的硬币。也就是说，您还没有看到之前投掷的任何数据。在没有任何有关偏差的相关信息的情况下，出于对称性的考虑，您可能会认为正面的几率约为一半。这一意见与上述意见不同。没有足够的证据，但没有任何迹象表明你对 H 和 T 的态度应该不同。因此，总的来说，你应该对两者有相同的信念。

然而，这两种不同的情况被表示为具有相同的概率信念，即 p(H)=p(T)=0.5。在公平硬币的情况下，这种概率分配来自于有证据表明正面的可能性是一半，并且处方使您的信用与机会匹配（其他条件不变）。相比之下，在未知偏见的情况下，一个人以不同的方式得出相同的任务：你的证据中没有任何证据支持一个命题而不是另一个命题，因此一些“冷漠原则”推理表明他们应该被分配相同的可信度（参见Hájek 2011，关于冷漠原则的讨论）。

如果我们认真对待前面讨论的“模糊厌恶”，那么当我们在投注公平硬币的着陆头上和未知偏差硬币的着陆头上进行选择时，选择前者似乎并不是没有道理的。回想一下 2.1 节中艾尔斯伯格博弈中对明确赌博的偏好。但是，如果两种硬币都具有相同的主观概率，那么这种对公平硬币下注的偏好有何合理性呢？乔伊斯认为，这些信念之间存在差异，值得代表。 IP确实代表了差异。第一种情况由 P(H)={0.5} 表示，而第二种情况由 P(H)=[0,1] 表示。

斯科特·斯特金很好地阐述了这一点，他说：

[E]基于它的证据和态度必须与特征相匹配。当证据本质上是尖锐的时，就需要采取尖锐或准确的态度；当证据本质上是模糊的——大多数时候都是如此——最多只能采取模糊的态度。一句话：证据的精确性带来态度的精确性；证据的不精确会导致态度的不精确。 （斯特金 2008：159 斯特金的强调）

惠勒（Wheeler，2014）批评斯特金的“性格匹配”论文。然而，基于证据性质的知识产权论证仅要求证据的特征有时允许（或强制？）不精确的信念，而不是特征必须始终匹配。相反，Schoenfield (2012) 认为证据总是支持精确的可信度，但由于计算能力有限，真正的代理人不需要拥有精确的可信度。然而，她的论点只是真正支持了这样一种说法，即有时不确定性是由于证据的复杂性和计算的复杂性造成的。她没有反驳莱维、卡普兰、乔伊斯和其他人的主张，即存在证据情况需要采取不精确的态度。

严格来说，我们所看到的只是故事的一半。关于重量和平衡的信念表征之间存在差异。但这仍然留下了一个问题：到底什么代表了证据的分量？信仰的哪些方面反映了这种差异？人们可能会忍不住想看看

￣

磷

(H)−

磷

_

(H) 作为 H. Walley (1991) 初步建议的证据权重的衡量标准。然而，这会得到证据相互矛盾的错误案例。 （想象一下两个同样可靠的证人：一个告诉你硬币偏向正面，另一个说偏向反面。）知识产权是否以及如何比精确概率论做得更好的问题尚未得到充分的答案。

然而，知识产权领域的研究人员在区分您的信念恰好具有某些对称性属性的情况和您的信念捕获了有关信念对象对称性的证据的情况方面取得了进展。这是标准精确信念模型无法捕捉到的区别（de Cooman 和 Miranda 2007）。

精确的概率学家可以通过指出弹性（Skyrms 2011）或稳定性（Leitgeb 2014）的属性来回应重量/平衡区别论点。这个想法是，由证据权重确定的概率与仅由证据平衡确定的概率相比，对新证据的响应变化较小。也就是说，如果你已经抛过一百次硬币，看到正面朝上不会对你的信念产生太大影响，而如果你没有见过任何一次抛硬币，看到正面朝上对你的信念影响更大。因此，这种区别体现在条件概率的精确概率框架中。然而，这种区别并不能合理化人们对公平硬币下注的偏好。人们可以制定一个弹性加权期望值，并声称这是你应该最大化的值，但这与 IP 一样背离正统概率论。如果有人要发展这样的理论，那么可以将其优点与知识产权类型模型的优点进行权衡。

另一个潜在的精确反应是，如果许多作为 H 证据的命题都被完全相信，或者如果有一个机会命题（关于 H）接近完全相信，那么 H 就有证据的分量。这与纯粹平衡的情况形成鲜明对比，在这种情况下，很少有 H 证据的命题被完全相信，或者概率分布在许多机会假设上。上面关于弹性的评论同样适用于这里：可以做出这样的区分，但这并不能让我们得出一个可以合理化模糊厌恶的理论。

膨胀现象（第 3.1 节）表明本节提出的这种论证需要更多的关注和进一步的阐述。

2.4 暂缓判决

有时你会遇到这样的情况：你的所有证据似乎都不能支持或反对某个命题的真实性。可以说，对这样的主张采取的合理态度是悬置判断。

当我们的结论所依据的信息很少或根本没有时，我们就不能指望推理（无论多么聪明或彻底）来揭示最可能的假设或独特合理的行动方案。理性的力量是有限度的。 （沃利 1991：2）

考虑一枚具有未知偏差的硬币。贝叶斯代理必须对硬币下一次抛掷时正面朝上的情况有一个准确的信念。鉴于完全缺乏有关该代币的信息，似乎最好暂停判断。也就是说，最好不要有任何特定的精确可信度。最好避免把赌注押在硬币上。但贝叶斯框架中没有足够的空间来做到这一点。概率函数必须输出一些数字，并且该数字将根据需要批准一组特定的投注。

考虑

磷

_

(X) 代表证据支持 X 的程度。现在考虑 I(X)=1−(

磷

_

(X)+

磷

_

(-X))。这衡量了证据对 X 保持沉默的程度。 Huber (2009) 指出，精确概率论可以被理解为声称没有证据对任何命题保持沉默。也就是说，对于所有 X，I(X)=0。人们永远不能停止判断。这是了解精确概率学家对证据态度的奇怪之处的好方法。 Huber 提出了关于 Dempster-Shafer 信念函数的这一观点（参见历史附录，第 7 节），但它一般也适用于 IP。

忠诚的精确概率学家会回应说，设置 p(X)=0.5 会暂停判断。这是抛硬币情况下最大的不置信度。更一般地说，暂停判断应该从熵最大化的角度来理解（Jaynes 2003；Williamson 2010：49-72）。不精确的概率论者可能会争辩说，如果你执着于信仰的精确概率论表示，那么这似乎只是不置可否的正确方式。也就是说，如果您已经致力于通过单个精确概率来表示信念，则 MaxEnt 方法是有意义的，但如果信用集可用，则 MaxEnt 方法就失去了吸引力。当证据不能确定你的可信度时，你就可以暂停判断。但对于精确的概率论者来说，没有办法区分暂停判断和概率一半的有力证据之间的区别。这又是重量/平衡的争论。

为了让事情变得更加明显，请考虑 Adam Elga 提出的以下令人愉快的奇怪例子：

一个陌生人在街上接近你并开始从包里拿出东西。他首先拿出的三件物品是一支普通尺寸的牙膏管、一只活水母和一支旅行装的牙膏管。你应该在多大程度上相信他拿出的下一个物体将是另一管牙膏？ （2010：1）

在这种情况下，与硬币的情况不同，我们真的不清楚直觉如何解释什么是“正确的”精确概率暂停判断。最大熵方法所推荐的内容将取决于用于对情况进行建模的形式语言的看似任意的选择。威廉姆森很清楚这个语言相对论问题。他认为，语言的选择编码了我们的一些证据。

对这一论点的另一个回应是威廉·詹姆斯 (William James) 对 W.K. 的回应。克利福德（克利福德 1901；詹姆斯 1897）。詹姆斯认为，只要你的信念与证据一致，那么你就可以自由地相信你喜欢的东西。因此，没有必要暂停判断。因此，精确概率学家无法做到这一点并不是真正的缺陷。这种态度有时被称为认知唯意志论，接近布鲁诺·德·菲内蒂、弗兰克·拉姆齐等人所拥护的主观主义。

似乎确实有必要采取一种替代方法来暂停判断，以便在你的证据非常不完整、模棱两可或不精确时避免做出任何赌注。如果您的信用作为赌注可接受性的标准，那么它们应该允许赌注的双方都不能被接受。精确的概率学家无法做到这一点，因为如果投注具有（精确的）期望值 e，那么采取该投注的另一方（即博彩公司）则具有期望值 -e。如果可接受性被理解为非负期望，那么任何赌注的至少一侧对于精确代理来说是可接受的。这似乎并不令人满意。当然，真正的悬置判断意味着无论如何都不愿意为了某个命题的真实性而冒金钱的风险。

受著名的“伯特兰悖论”的启发，钱德勒（Chandler，2014）提出了一个简洁的论点，即精确的概率学家无法共同满足与暂停对变量的判断有关的两个需求。第一个愿望：如果您暂停对有界实变量 X 的值进行判断，那么您的认知状态似乎应该对相同大小的 X 的可能值的不同区间进行相同的处理。第二个愿望：如果 Y 本质上描述了与 X 相同的数量，那么暂停对 X 的判断应该意味着暂停对 Y 的判断。现在让我们想象一下，你有精确的概率，并且暂停对 X 的判断。根据第一个愿望，你对 X 的值有均匀分布。现在考虑 Y=1/X。 Y 本质上描述了与 X 相同的数量。但是 X 上的均匀分布必然导致 Y 上的非均匀分布。因此，您不要暂停对 Y 的判断。如此相关的变量的现实案例是“云中的冰停留时间”和“云中的冰落下速率”。它们是负相关的，但本质上描述了气候系统的相同要素（Stainforth 等，2007：2154）。

因此，精确的概率学家无法满足这些暂停判断的合理要求。不精确的概率学家可以：例如，X 上所有概率函数的集合满足这两个要求。可能有更多信息丰富的先验也代表了判断的中止，但现在只要指出知识产权似乎比精确概率论更能代表判断的中止就足够了。 Walley (1991) 第 5.5 节讨论了知识产权作为处理中止判决问题的方法的前景。

2.5 未知的相关性

海尼等人。 （2011）通过展示不精确概率如何从精确概率判断中产生来激发不精确概率。也就是说，如果您有 X 的精确概率和 Y 的精确概率，那么您可以在 p(X∩Y) 和 p(X∪Y) 上设置界限，即使您不知道 X 和 Y 之间的关系。这些界限为您提供了复合事件的可能概率值的区间。

例如，您知道 p(X∩Y) 的边界是 p(X) 和 p(Y)，因此是 min{p(X),p(Y)}。如果 p(X)>0.5 且 p(Y)>0.5，则 X 和 Y 必须重叠。所以 p(X∩Y) 的下界是 p(X)+p(Y)−1。但是，根据定义，p(X∩Y) 也以 0 为界。因此我们得到以下结果：如果您知道 p(X) 并且知道 p(Y)，那么，您知道

max{0,p(X)+p(Y)−1}≤p(X∩Y)≤min{p(X),p(Y)}。

同样，可以在 p(X∪Y) 上设置界限。 p(X∪Y) 不能大于 X 和 Y 不相交时的值，因此它的上界为 p(X)+p(Y)。它也以 1 为界，因此也以这些表达式的最小值为界。它也受到 p(X) 和 p(Y) 的限制，从而受到它们的最大值的限制。把这个放在一起，

max{p(X),p(Y)}≤p(X∪Y)≤min{p(X)+p(Y),1}。

这些约束实际上是从 de Finetti 的预测基本定理中得到的（de Finetti 1990 [1974]：112；Schervish、Seidenfeld 和 Kadane 2008）。

因此，如果你的证据限制了你对 X 和 Y 的信念，但对它们的相互作用保持沉默，那么你将只能将这些复合事件固定在一定的时间间隔内。对特定概率函数的任何选择都将超出假设 X 和 Y 之间某些特定证据关系的证据。也就是说，p(X) 和 p(X∣Y) 将以一种没有证据基础的方式有所不同。

2.6 非概率机会

如果客观机会不是概率怎么办？如果我们认可已知的客观机会和信念之间的某种联系——例如，直接推理原则或刘易斯主要原理（Lewis 1986）——那么我们可能有一个额外的理由来认可不精确的概率论。机会应该是概率，这似乎是一个举世公认的真理，但对于这个“真理”却很少有人提出争论。例如，Schaffer（2007）将遵守概率公理作为扮演“机会角色”所需的事情之一，但没有提出任何论据表明情况应该如此。乔伊斯说，“有些人持有的客观机会不是概率。这似乎不太可能，但解释为什么会带我们走得太远”（2009：279，fn.17）。关于机会的各种其他讨论——例如统计力学（Loewer 2001；Frigg 2008）或“休谟机会”（Lewis 1986、1994）——理所当然地认为机会应该是精确的和概率性的（Dardashti et al. 2014 是一个例外）。显然，使用机会概念作为解释概率论的方式会使事情变得混乱。然而，有一个完美的前理论概念：毕竟，这就是概率论最初发明的目的。从某种意义上说，这种前理论的机会似乎仍然是我们应该相信的事情。几乎没有人争论机会一定总是概率。如果机会在某种特定的方面是非概率的，那么人们可能会认为你的信用也应该在同样的方面是非概率的。如果机会和信任具有非概率形式结构，机会协调规范应该采取什么形式目前是一个悬而未决的问题。

我想举几个例子来说明这个想法。首先考虑一些没有限制频率但频率变化且始终保持在某个区间内的物理过程。这将是一个充满偶然性但相当可预测的过程。对此类系统的最佳描述可能就是对其相对频率设置界限。此类过程已使用 IP 模型进行了研究（Kumar 和 Fine 1985；Grize 和 Fine 1987；Fine 1988），并被讨论为可信度不精确的潜在来源（Hájek 和 Smithson 2012）。