不精确的概率

有人认为，不精确概率是克服正统精确概率的一些问题的自然而直观的方式。此类模型有着悠久的历史，近年来人们对此类模型的兴趣不断增长。本文介绍了不精确概率理论，讨论了它们的使用动机以及它们相对于标准精确模型的可能优势。然后讨论了该模型提出的一些哲学问题。还有一个历史附录，概述了一些对不精确概率表示同情的重要思想家。

一、简介

1.1 术语概述

1.2 一些重要的区别

2. 动机

2.1 艾尔斯伯格的决定

2.2 不完整性和不可比性

2.3 证据权重、证据平衡

2.4 暂缓判决

2.5 未知的相关性

2.6 非概率机会

2.7 群体信念

3. 知识产权的哲学问题

3.1 膨胀

3.2 信念惯性

3.3 决策

3.4 解释IP

3.4.1 什么是信念？

3.4.2 什么是对 X 的信念？

3.5 回归

3.6 什么是好的不精确信念？

4. 总结

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

概率论是一种非常富有成效的理论，几乎应用于科学的每个分支。在哲学中，概率论的一些重要应用被称为贝叶斯主义。这是一个非常成功的计划（例如参见 Howson 和 Urbach 2006；Bovens 和 Hartmann 2003；Talbott 2008）。但概率论似乎归咎于比看起来更丰富、更确定的态度。您对 2080 年全球平均表面温度将上升超过四度的合理信念应该是多少？也许应该是0.75？为什么不是 0.75001？为什么不是 0.7497？该事件的可能性比两次抛一枚硬币至少出现一个正面的可能性更大还是更小？似乎有很多事件我们可以（或者也许应该）采取比正统概率所要求的更不精确的态度。在质疑正统观念的原因中，坚持认为信念状态由单一实值概率函数表示是一种相当不切实际的理想化，并且会带来一些相当尴尬的后果，我们将在稍后讨论。事实上，人们早已认识到概率论只提供了一种相当理想化的信念模型。早在十九世纪中叶，我们就发现乔治·布尔说过：

断言这种期望的强度（被视为心灵的情感）能够引用任何数字标准是不符合哲学的。 （布尔 1958 [1854]：244）

由于这些以及许多其他原因，人们对不精确概率 (IP) 模型越来越感兴趣。从广义上讲，这些信仰模型以某种方式超越了正统概率论。

IP 模型用于许多领域，包括：

统计（Walley 1991；Ruggeri 等人 2005；Augustin 等人 2014）

推理心理学（Pfeifer 和 Kleiter 2007）

不确定性的语言处理（Wallsten 和 Budescu 1995）

对歧义和冲突的神经反应（Smithson 和 Pushkarskaya 2015）

哲学（Levi 1980；Joyce 2011；Sturgeon 2008；Kaplan 1983；Kyburg 1983）

行为经济学（Ellsberg 1961；Camerer 和 Weber 1992；Smithson 和 Campbell 2009）

数理经济学（Gilboa 1987）

工程学（Ferson 和 Ginzburg 1996；Ferson 和 Hajagos 2004；Oberguggenberger 2014）

计算机科学（Cozman 2000；Cozman 和 Walley 2005）

科学计算（Oberkampf 和 Roy 2010，第 13 章）

物理学（Suppes 和 Zanotti 1991；Hartmann 和 Suppes 2010；Frigg 等人 2014）

本文指出了知识产权模型的各种动机；介绍该领域广泛使用的各种形式模型；并讨论了这些框架的一些悬而未决的问题。重点将放在信仰的正式模型上。

1.1 术语概述

在整篇文章中，我采用了讨论任意故意代理人的信念的惯例，我将其称为“你”。知识产权的杰出倡导者（包括古德和沃利）采用了这一公约。

本文是关于信仰的形式模型，因此需要引入一定数量的形式机制。有一组状态 Ω 代表世界可能的样子。有时 Ω 被描述为“可能世界”的集合。信仰的对象——你所信仰的事物——可以用世界可能是Ω的一组方式的子集来表示。我们可以将一个命题 X 与使其为真的状态集，或者用它为真的可能世界集来识别。如果你对 X 和 Y 有信念，那么你也对“X∩Y”、“X∪Y”和“ØX”有信念；分别是“X和Y”、“X或Y”和“X不是这样的情况”。信念对象的集合是 Ω 的幂集，或者如果 Ω 是无限的，则为 Ω 子集的一些可测量代数。

置信度的标准观点是置信度用实数表示，置信状态用概率函数表示；这是一个规范性要求。概率函数是从信念代数到实数的函数 p，满足：

0=p(∅)≤p(X)≤p(Ω)=1

如果 X∩Y=∅ 则 p(X∪Y)=p(X)+p(Y)

因此，如果你的信念状态或信念状态用p表示，那么你对X的信念程度就是p赋予X的值；即 p(X)。

此外，贝叶斯信念模型中的学习受到条件化的影响。如果你学习了一个命题 E（仅此而已），那么你学习后对 X 的信念由 p(X∣E)=p(X∩E)/p(E) 给出。

另一种方法将成为本文的主要焦点，它是通过一组概率函数而不是单个概率来表示信念的方法。因此，你不是用一些 p 来代表你的信念状态，而是用 P 来表示你的信念状态，这是一组这样的函数。 van Fraassen (1990) 称其为代表者，Levi 称其为信用集。稍后我将讨论您可能解释代表者的各种方式，但现在我们可以将其视为如下。你的代表是一个信条委员会：其中的每个概率函数都代表委员会一名成员的意见，而该委员会共同代表了你的信念。

从这些概念中，我们可以定义一些在不精确概率的讨论中经常使用的“汇总函数”。通常，假设您对某个命题 X 的信任程度由 P(X)={p(X):p∈P} 表示。我将采用这种符号约定，但条件是我不认为 P(X) 足以代表您对 X 的信任程度。您的 X 下限是：

磷

_

(X)=infP(X)。同样，你的上信封是

￣

磷

(X)=supP(X)。它们在以下意义上是彼此共轭的：

￣

磷

(X)=1−

磷

_

(-X)。

关于更新概率集的标准假设是，学习 E 后您对 X 的置信度由 P(X∣E)={p(X∣E),p∈P,p(E)>0} 给出。学习 E 后你的信念状态是 P(⋅∣E)={p(⋅∣E),p∈P,p(E)>0}。也就是说，通过条件概率集。

我想强调的是，这些汇总函数——P(⋅)，

磷

_

(·) 和

￣

磷

(·)——不能正确代表您的信念。图片中缺少信息。在我们稍后讨论膨胀时，这个问题将很重要。

我们需要讨论决策，因此我们将引入一个关于赌博的简单决策模型。我们可以将有界实值函数 f 视为“赌博”，即从某个集合 Ω 到实数的函数。如果 ω 是真实状态，则赌博 f 将支付 f(ω)。我们假设您对这种商品的每一个单位的价值都相同（赌博的支出与效用呈线性）并且您对风险的担忧漠不关心。你对这些赌博的态度反映了你对Ω中各种意外事件发生可能性的态度。也就是说，如果 ω 看起来越有吸引力，您认为 ω 越有可能赢得大奖。特别是，考虑命题 X 上的指示函数 IX，如果 X 在现实世界中为真，则输出 1，否则输出 0。这是一种特殊的赌博，你对它们的态度直接反映了你对这个命题的信念程度。您认为 IX 越有价值，您认为 X 的可能性就越大。将这些指标称为赌博。

赌博是根据其预期价值进行评估的。将 Ep(f) 称为赌博 f 关于概率 p 的期望值，并将其定义为：

Ep(f)=

Σ

Ω

p(ω)f(ω)

你认为 f 处于状态 ω 的价值有多大取决于 f(ω) 有多大。 ω 中 f 的优度有多重要取决于状态的可能性，通过 p(ω) 来衡量。那么期望就是这些概率加权值的总和。有关预期效用的更多讨论，请参阅 Briggs (2014)。

然后我们将 EP(f) 定义为 EP(f)={Ep(f):p∈P}。也就是说，P 成员的期望值集合。EP(f) 与 P(X) 的条件相同：也就是说，EP(f) 在多大程度上完全代表了你对赌博价值的态度，这是值得商榷的。当不会产生歧义时，我经常会删除下标“P”。更多技术细节可以在正式附录中找到。

1.2 一些重要的区别

在接下来的内容中，有许多重要的区别。

知识产权理论的一个重要参数是该理论应具有的规范力。不精确是强制性的还是仅仅是允许的？它总是允许/强制性的，还是只是有时？或者，我们可能对描述实际主体的信用状态的纯粹描述性项目感兴趣，而对规范性问题不感兴趣。在本文中，我们不会关心最后一种可能性。

将信念本身与该信念的引发以及您对这些信念的内省访问区分开来也很有帮助。其他态度（价值观、效用等）也是如此。您的信念可能在实践中甚至原则上不适合（精确）启发。同样，你对自己信念的内省可能是不完美的。这些缺陷可能是不精确的根源。 Bradley（2009）区分了不完美内省的许多不同来源。这种不完美可能是由于你对所讨论的前景的不了解、你的推理的局限性、对相关意外事件的无知，或者是因为你的证据或价值观的冲突（第240-241页）。有关不确定性类型的进一步讨论，请参阅 Bradley 和 Drechsler (2014)。

大量证据的各个方面可能会影响您应该如何应对。我们可以问有多少证据（证据权重）。我们可以询问证据是否平衡，或者它是否很大程度上支持一种假设而不是另一种假设（证据平衡）。证据可以被平衡，因为它是不完整的：根本就不够。如果证据存在冲突，也可以进行平衡：不同的证据支持不同的假设。我们可以进一步问，证据是否告诉我们一些具体的事情——比如硬币的偏向是 2/3 有利于正面——或者是不具体的——比如硬币的偏向是在 2/3 到 1 之间有利于正面。这种特异性应该与证据的模糊性或不确定性区分开来：一枚硬币具有大约 2/3 的偏差是模糊但具体的，而一枚硬币具有肯定在 2/3 和 1 之间的偏差是确定的但不具体的。同样，信用状态可能是不确定的、模糊的，或者可能是不具体的，或者可能两者兼而有之。似乎确定但非具体的信念状态比不确定的信念状态更罕见。

Isaac Levi (1974, 1985) 对“不精确”的信任和“不确定”的信任进行了区分（恐吓引号表明这些不是与我在本文中采用的用法一致的术语“不精确”和“不确定”的使用）。这个想法是，有两种不同类型的信念状态可能需要转向信念的 IP 表示。莱维术语中的“不精确”信念是我的不完美内省或引发的信念，而“不确定”信念是（可能）完全内省的信念，但仍然是不确定或不具体（或两者兼而有之）。莱维认为，有趣的现象是“不确定”的信任。 Walley（1991）还强调了存在“正确”但未知概率的情况与“不确定性”情况之间的区别。

还有一个关于知识产权解释的进一步问题与上述问题交叉。这是我们是否将 P 理解为您信念的“完整”或“详尽”表示的问题，或者我们是否认为该表示是不完整或非详尽的。让我们谈谈投注解释。详尽/非详尽的区别可以通过提出以下问题来得出：P 是否仅捕获您的所有投注倾向，还是 P 仅部分捕获您的投注倾向？沃利强调了这种区别，并认为大多数模型都不是详尽无遗的。

部分原因是莱维要求区分“不精确”和“不确定”信念，一些人反对使用“不精确概率”一词。利用上述不确定性、不具体性和不完美内省信念之间的区别，我们可以将列维想要分离的所有类别分开，而无需使用“不精确”一词。然后，我们可以使用“不精确”作为一个涵盖性术语来涵盖所有这些缺乏精确性的情况。方便的是，这使我们能够与“不精确概率”方面的大量正式工作保持一致，该术语用于涵盖不确定性的情况。这种用法至少可以追溯到 Peter Walley 的颇具影响力的著作《不精确概率的统计推理》（Walley 1991）。

因此，“不精确”并不完全正确，但“概率”也不是，因为知识产权的形式理论实际上是关于预见（某种期望）而不仅仅是概率（指标函数的期望）。有用的是，如果我将不精确概率缩写为“IP”，那么我可以利用一些有用的歧义。

2. 动机

一般而言，让我们考虑一下人们采用知识产权保护下的模式可能有什么样的动机。重点将放在理性信念的模型上，因为这些是哲学家通常关注的模型，尽管值得注意的是，使用知识产权的统计工作并不限于这种解释。请注意，没有一位作者认可所有这些论点，事实上，一些同情知识产权的作者明确表示，他们认为这些论点中的某些不是好的（例如，马克·卡普兰（Mark Kaplan）不认可关于描述性现实主义的担忧表明允许不完整性的主张）。

2.1 艾尔斯伯格的决定

在许多决策问题的例子中，我们本能地违背了精确概率论的规定。事实上，许多实验对象似乎确实表达了违反公理的偏好。 IP 提供了一种将这些直观上合理且经过实验观察到的选择表示为理性的方法。一个典型的例子是埃尔斯伯格问题（Ellsberg 1961）。

我有一个装有九十颗弹珠的瓮。三十颗弹珠是红色的。其余部分呈蓝色或黄色，比例未知。

考虑此场景中各种事件的指标赌博。考虑在如果抽出的弹珠是红色则获胜的投注 (I) 和如果抽出的弹珠是蓝色则获胜的投注 (II) 之间进行选择。您可能更喜欢 I 而不是 II，因为 I 涉及风险，而 II 涉及模糊性。如果其结果不确定但其结果以已知概率发生，则前景是有风险的。如果结果发生的概率未知或仅部分已知，则前景是模糊的。现在考虑在如果抽出的弹珠不是蓝色则获胜的投注 (III) 和如果抽出的弹珠不是红色则获胜的投注 (IV) 之间进行选择。现在，III 是模糊的，而 IV 是明确的，但有风险，因此，如果您更喜欢有风险而不是模糊的前景，那么 IV 可能对您来说更好。这种偏好模式（I 优于 II，IV 优于 III）不能被合理化为精确的预期效用最大化者的选择。赌博总结在表中。

RBY

我 1 0 0

二 0 1 0

三 1 0 1

四号 0 1 1

表 1：艾尔斯伯格的赌注。瓮包含 30 颗红色弹珠和 60 颗蓝色/黄色弹珠

设红色、蓝色和黄色弹珠的概率分别为 r、b 和 y。如果您是预期效用最大化者并且偏好 I 而不是 II，那么 r>b 并且偏好 IV 而不是 III 必然导致 r+y<y+b。没有数字可以同时满足这两个约束。因此，没有概率函数使得具有该概率的期望效用最大化者会以上述方式进行选择。虽然这些偏好并不具有普遍性，但它们是许多实验对象对此类例子的反应的一个重要特征（Camerer 和 Weber 1992；Fox 和 Tversky 1995）。一些实验表明，埃尔斯伯格型偏好模式比通常认识到的更为罕见（Binmore 等人，2012 年；Voorhoeve 等人，2016 年）。有关模糊态度的更多信息，请参阅 Trautmann 和 van der Kuilen (2016)。

不精确的概率学家可以将情况建模如下：P(R)=1/3,P(B)=P(Y)=[0,2/3]。请注意，这种信念状态的表达遗漏了一些重要的细节。例如，对于所有 p∈P，我们有 p(B)=2/3−p(Y)。对于这里提出的观点，这个细节并不重要。对模糊性进行建模使我们能够合理化真实代理人对红色下注的偏好。为了充实这个故事，需要对决策制定进行更多的讨论（参见第 3.3 节），但直觉是，对歧义的厌恶解释了人们对 I 的偏好超过 II，对 IV 的偏好超过 III。

正如斯蒂尔（Steele，2007）指出的，只有当我们处理真正不确定或非特定的信念时，上述分析才合理化艾尔斯伯格的选择。如果我们处理的是不完全内省信念的情况，那么表示器中就会存在一些 p，使得理性选择最大化 Ep。对于艾尔斯伯格的选择，没有这样的 p。

这种对埃尔斯伯格比赛教训的看法并非没有争议。 Al-Najjar 和 Weinstein (2009) 对艾尔斯伯格偏好的解释提出了另一种观点。他们的观点是，艾尔斯伯格选择的独特模式是由于代理人应用某些启发式方法来解决假设赔率是可操纵的决策。在现实生活中，如果有人向你打赌，你可能会认为他们一定比你有一些优势，这样才值得他们向你打赌。这种怀疑论，经过适当的建模，可以在简单的博弈论精确概率模型中产生埃尔斯伯格的选择。

2.2 不完整性和不可比性

（精确）概率论的各种论证都假设某种关系或其他关系是完整的。无论这是对行为的偏好，还是某种“定性概率排序”，都假定该域的任何两个元素之间的关系以一种方式或另一种方式成立。这似乎不应该是一个理性原则，尤其是在严重不确定的情况下。也就是说，以偏好为例，在任一方向上都没有偏好是合理的。这是对选项之间漠不关心的一种重要的不同态度。马克·卡普兰对此观点如下：

当你在 A 和 B 之间漠不关心时，以及当你在 A 和 B 之间犹豫不决时，都可以说你不喜欢其中一种情况。尽管如此，冷漠和优柔寡断是截然不同的。当你对 A 和 B 漠不关心时，你之所以无法选择其中一个，是因为你认定它们同样更可取。当你犹豫不决时，你之所以无法选择其中之一，是因为你没有这样的决心。 （卡普兰 1996：5）

对于“不可比较性”和“冷漠性”应该加以区分的主张，有一种标准的行为主义回应。简而言之，该主张是，这是无法从实际代理人的选择行为中推断出来的区别。最终，在给定的选择情况下，您必须选择其中一个选项。您选择的选项可以被解释为（弱）首选。乔伊斯对这种行为主义的诉求提出了以下批评。

有太多值得说的事情在严格的行为主义的范围内是不能说的……这里的基本困难是，如果不诉诸有关她的心理状态的额外事实，就不可能区分代理人的行为确实揭示了她想要什么的背景和没有揭示她想要的东西的背景……一个更严重的缺点是行为主义无法合理化对选择行为的解释。 （乔伊斯 1999：21）