第二章:微积分学（自撰)

微积分学

微积分学是微分学和积分学统称，也被称为分析学和无穷小分析。它的发展历史分为四大阶段:萌芽阶段、酝酿阶段、建立阶段和严格化阶段。

萌芽阶段:一方面是极限思想时期。代表人物是欧多克索斯和庄子，其中欧多克索斯是数学家、天文学家，提出穷举法和极限思想；庄子则用”一日之棰，日取其半，万世不竭“描述极限思想。另一方面是积分思想时期。代表人物是阿基米德和开普勒，其中阿基米德是数学家、物理学家、哲学家，他曾对抛物弓形、球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积有研究。开普勒是德国天文学家、数学家，发表行星运动三大定律，也用无穷小微元来确定曲边形的面积、体积。

酝酿阶段：首先是”观测天文学之父”伽利略，他是欧洲近现代自然科学创始人，建立了自由落体定律、动量定律等；接着是卡瓦列里，他发展了系统的不可分量方法，也算出了定积分 其次是“解析几何之父”笛卡儿，是直角坐标系建立人，提出”圆法“和r=a(1-sina)。接着是”业余数学家之王”费马，他在积分学方面的第四类问题做了许多工作，提出费马定理；然后是第一个“罗卡斯教授”巴罗，赏识牛顿，14岁进剑桥大学，18岁获得学士学位，提出”微分三角形”；最后是沃利斯，他是”圆锥曲线当作二次曲线”加以讨论的人，发表圆锥曲线论，无穷小算术等著作，得出圆周率Π的有理数极限表达式。

建立阶段:这一阶段代表人物是牛顿和莱布尼茨。牛顿在1665发明“正流素术(微分法)和”在1666反流素术（积分法），并证明了微分与积分的互逆关系，将两类运算统一成整体。莱布尼茨在1684年发表微分学论文中，他给出微分记号dx和一些微分运算法则以及微分学一些应用；在1686年发表积分学论文，他给出积分符号f，初步论述积分与微分的互逆关系。

严格化阶段:前因伯克莱结论:连牛顿的微积分、无穷小量拿下模糊不清、逻辑混乱的东西都可以相信，为什么你们却不肯相信上帝呢？而后代表人物达朗贝尔、拉格朗日、欧拉以代数化的途径来克服微积分基础的困难。达朗贝尔定性地给出极限的定义，并将它作为微积分的基础；拉格朗日主张用泰勒级数来定义导数，由此给我们现在所谓的拉格朗日中值定理；欧拉提出关于无穷小的不同阶的理论。真正有影响的“分析严密性”一位先驱是数学家柯西，他最具代表性著作是分析教程，微分计算教程。柯西向分析的全面严格化迈出关键的一步；另一位是魏尔斯特拉斯，提出极限概念的定义，倡导”分析算术化”纲领并画的”现代分析之父”称号。

启示:任何一门学科的发展离不开众人拾柴火焰高，没有哪一个理论它的产生是一蹴而就的。有的理论可能经过一百年、两百年，一个世纪、两个世纪甚至更多时间的累积。但请明白成大器不嫌晚。