Mycielski定理

定理（Mycielski）：设Ⅹ 为一波兰空间， R ⊆ Ⅹ × X 是其上的一个meager的等价关系，则存在一个闭的perfect子集 C ⊆ X ，使得 C 中元素两两 R-不等价。

Proof：假设Dₙ ⊆ Ⅹ × X 为一列稠密开集，使得 R∩∩Dₙ＝∅ 。

ₙ

下面我们构造一个从 2ω 到非空开集的映射 σ ↦ Vσ 使得：

───

1. 对每个 σ ∈ α＜ω，Vσ⁀i ⊆ Vσ，其中 i ∈ {0，1} 。

2. 对每个 σ ∈ 2＜ω ， diam(Vσ) ≤ 2⁻|σ|。

3. 对每个 n ，以及 σ，τ ∈ 2ⁿ⁺¹ ，如果 σ ≠ τ ，则 Vσ × Vτ ⊆ ∩ Dₙ 。

m≤n

令V〈·〉＝X 。现在假设对每个 σ ∈ 2ⁿ ，Vσ 都已经定义好了，现在取 V' ⊂ Vσ 使得

────

V' ⊆ Vσ ，且 diam(V') ≤ 2⁻ⁿ⁻¹ ，考察 V' × V' ∩∩ Dₙ

m≤n

，这是一个非空开集，取 Vσ⁀0，Vσ⁀1 使得 ∅ ≠ Vσ⁀0 × Vσ⁀1 ⊆ V' × V' ∩ ∩ Dₙ 。

m≤n

如果 σ，τ ∈ 2ⁿ 不相容，我们再对 Vσ⁀i，Vτ⁀i 做类似的操作，保证 Vσ⁀i × Vτ⁀i ⊆ Dₙ ，其中 i ∈ {0，1} 。

现在定义映射f：2ω → X 使得

x↦∩Vₓ⨡ₙ

n∈ω 则这个映射定义良好，因为 ∩ₙ Vₓ⨡ₙ

───

＝∩ₙ Vₓ⨡ₙ 为单点集。而且这个映射是单射，因为如果 x ≠ y ∈ 2ω ，则对所有 n ， (x，y) ∉ ∪ₙ ，从而 (x，y) ∉ R ，所以 x ≠ y 。 f 显然是连续的，因为 f⁻¹[Nₛ]＝{x ∈ 2ω：∃n Vₓ⨡ₙ ⊆ Nₛ} 从而像集 f[2ω] ⊆ X 就是一个perfect的闭集。闭性因为 2ω 的紧致性，无孤立点因为单射。其元素两两 R-不等价刚刚已经证明过了。