利用S_p证明Wilson定理

问题：p是素数，计算Sₚ，中Sylow p-子群的个数。由此证明Wilson定理：

(p – 1)！≡ —1 (mod p)。

题目几乎已经将证明方法写了出来。因为|Sₚ|＝p！＝p(p – 1)！，由于(p–1)！中没有素

因子p，由西罗定理，Sₚ 有p阶的西罗p-子群H，因为素数阶的群都是循环群，故每个西罗p-子群H＝〈α〉，其中a是某个p元置换，且αᵖ＝(1)。接下来的证明将会表明，a一定是某个p轮换。

对于任何一个n轮换σ＝(α₁α₂ · · · αₙ)，易知

σⁿ＝(α₁α₂ · · · αₙ)ⁿ＝(1)，而且若

k＜n，则 σᵏ(α₁)＝αₖ₊₁≠α₁，所以

σᵏ≠(1)，于是n轮换σ的阶为n。反过来，若一个n元置换τ的阶为n，取τ的轮换分解式τ＝σ₁σ₂ · · · σₜ，其中各 σᵢ 为一长度小干等于n的轮换，所有轮换长度之和等于n，且各轮换两两不交，从而两两可交换，那么τᵏ＝σᵏ₁σᵏ₂ · · · σᵏₜ，∀k ≥ 1，根据已进行过的讨论可得出 τ 的阶等于各 σᵢ 的阶的最大值，因为 τ 的阶为n，所以 t＝1 ，且 τ＝σ₁ 为一n轮换。

这样，Sₚ的每个西罗p-子群都由某个p轮换生成。如果 H₁，H₂ 为两个不同的西罗p-子群，容易证明H₁∩H₂＝f{(1)}，这是因为，若某个(1) ≠ α ∈ H₁ ∩ H₂，因为 H₁ 的阶为p为一素数，所以a生成H₁，从而H₁＝〈α〉，但因为α ∈ H₂，很自然有

〈α〉⊂ H₂，也即H₁ ⊂ H₂，二者阶相等，从而 H₁＝H₂，这与二者是不同的西罗

p-子群相矛盾。

若H₁，H₂，· · ·，Hₛ 是 Sₚ 的所有不同的西罗p-子群，那么每个Hᵢ＝〈σᵢ〉，其中 σᵢ 为一p轮换。因为Hᵢ∩Hj＝{(1)}，i ≠ j，可知Sₚ的所有阶为p的元素个数为 s · (p – 1)。因为阶为p的元素必定是某个p轮换，这就要求我们来求 Sₚ 的所有不同的p轮换。

因为形如 (α₁，α₂，· · ·，αₚ) 的排列一共有p！个，对于每个特定的排列(α₁，α₂ · · · αₚ)，当我们将它看成是p轮换σ＝(α₁α₂ · · · αₚ) 时，它将有且只有p种相等的形式，即：

σ＝(α₁α₂ · · · αₚ)＝(α₂α₃ · · · αₚα₁)＝· · ·= (αₚα₁α₂ · · · αₚ₋₁)，从而所有不同的p轮换只可能有

p！/p＝(p – 1)！个。

结合上面的讨论，我们已经可以得出等式s · (p – 1)＝(p – 1)！即s＝(p – 2)！。也就是说 Sₚ的所有不同的西罗p-子群的个数为

(p – 2)！个。但是根据西罗第三定理，我们知道s≡1 (mod p)，从而(p – 2)

！≡1 (mod p)，两边同时乘以

P-1（因为显然的p – 1 ≡ p – 1(mod p)），得到

(p – 1)！≡ p – 1 ≡ –1(mod p)，这就是Wilson定理了。