Full outer measure的定义

在一个Fσ集F ⊂ Xᶜ 使得

μ(F)＝μ*(Xᶜ)，定义G＝Fᶜ，则G ⊃ X是一个Gδ 集，并且

μ*(G\X)＝μ*(Xᶜ\F) ≤ μ*(Xᶜ) — μ(F)＝0.

所以这个G便是要求的集合。

定义2：任给集合Y ⊂ X ⊂ [0，1]，称Y在X上有full outer measure，当且仅当

env(Y)=env(X)，即二者拥有相同的包络。

现在来验证几个关于这两个定义的等价命题。

命题1：集合G为集合X的包络当且仅当对任何borel集A ⊂ [0，1]，有

μ(A∩G)＝μ*(A∩X)。

首先，μ(A∩G) ≥ μ*(A∩X)是显然的。先证明从左到右，任取borel集A，假设μ(A∩G)＞μ*(A∩X)，来引出矛盾。取一个Gδ集E ⊃ A ∩ X 使得

μ(E)＝μ* (A∩X)，此时令

F＝(A∩G)\E，可知F是borel的，而且因为μ(E)＝μ*(A∩X)＜μ (A∩G)，所以μ(E)＞0 。但是， 注意到

F＝(B∩G)\E ⊂ (B∩G)\(B∩X)＝B∩(G\X)

所以F ⊂ G\X，而μ*(G\X)＝0，所以μ(F)＝0，矛盾。

在来证明从右边到左边。考察μ*(G\X)，任给闭集D ⊂ G\X，来证明

μ(D)＝0。因为

μ(D)＝μ(D∩G)＝μ*(D∩X)＝μ*(∅)＝0.

所以μ*(G\X)＝0。

命题2：定义2等价于：对任何borel集A ⊂ [0，1]，如果 A∩X 是non-null的，则 A∩Y 是non-null的。

先来证明从左到右：取G为X和Y共同的包络。现固定任何borel集A，如果A∩X是

non-null的，即μ*(A∩X)＞0，则由命题1可得：

μ*(A∩Y)＝μ(A∩G)＝μ*(A∩X)＞0.

从而 A∩Y也是non-null的。

再来证明从右到左。任取G为X的包络，我们只需要证明G也为Y的包络即可。假设不然，即μ*(G\Y)＞0，则存在Fσ集

H ⊂ G\Y，使得

μ(H)＝μ*(G\Y)＞0。但因为

H∩Y＝∅.所以 H∩Y 是null的，由前提假设，这使得H∩X也是null的。然而根据

命题1，

0＝μ*(H∩X)＝μ(H∩G)＝μ(H)＞0,

矛盾。

命题3：定义2等价于：对于任何borel集

A ⊂ [0，1]，如果A∩X是non-null的，则

A∩Y≠∅.

由命题2，左边蕴含右边是显然的。现在“证明右边蕴含左边。取G为X的包络，我们只需证明G也为Y的包络。实际上证明和命题2的充分性相似。假设G不是Y的包络，则存在Fσ集H ⊂ G\Y使得

μ(H)＝μ*(G\Y)＞0。但是此时

H∩Y＝∅，运用充分性假设，我们有H∩X是null的。但是根据命题1，

0＝μ*(H∩X)＝μ(H∩G)＝μ(H)＞0，

矛盾。