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前言 ▹
正文 ▹
基数的基本概念 ▹
康托定理和康托-伯恩斯坦定理 ▹
参考 ▹
正文
基数的基本概念
基数的定义
定义1. 没A为集与A对等 · · · 的所有集均赋予1个记号α，則α称为A的基数，记作 |A| 定义1'设A为集，则与A对等的所有集形成的集族行为A 的基数！
这定义太抽象了。
基数的比较
if A~B
大hen x＝β
定义2.α，β是A，B的基数，if A与B的真子集对等.但A与B不对等 則行 α 山 于β.记作α＜β
α，β是集合A，B的基数，如果A与B的真子集对等，但A与B不对等，则称α小于β，记做α＜β。若A与B对等，则记做α＝β。
这里补充一下吉大对于基数的定义
定义
定义1.3.7
❖设A，B是任意两个集合。
（1）称A的基数小于等于B的基数，记为|A|≤
|B|，如果有A到B单射σ或有B到A满射σ。
（2）称A的基数小于B的基数，记为|A|＜|B|，如果|A|≤|B|且|A|≠|B|。
若是无穷集，就不能用数个数来比较元素个数多少了，而是通过单射，满射，一一映射来进行规定。注意！若仅有A到B的映射，不能说明|A|和|B|之间的关系。
当有A到B的单射σ，直观上来讲x₁，x₂∈A且x₁≠x₂时，必然有y₁≠y₂，所以|A|＝|σ(A)|，即A和值域σ(A)是等势的，而σ(A) ⊆ B，故而定义 |A| ≤ |B| 是合理的。
A．→．B
．→．
．→．
．
当有B到A的满射σ，直观上来讲任意y∈A，必然存在x∈B使得σ(x)＝y，关键在于可能并非存在唯一的x使得σ(x)＝y，故而定义|A| ≤ |B| 是合理的。
B．→．A
↙
．
．
↙
．
．
↙
．
❖即为：若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A| ≤ |B|：若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A| ≤ |B|。
事实上，后来我发现存在A到B的单射⇔存在B到A的满射 ⇔ A与B的某子集存在一一对应关系。
B．→．A B．→．A A．→．B
．→． → ．→． → ．→．
．→． ← ．→． ← ．→．
↙ ．
．
（例一）B到A满射
（例二）A和B的子集存在——对应关系
（例三）A到B单射
故而上面哪个等价条件来定义|A| ≤ |B|都是一样的。
康托定理和康托—伯恩斯坦定理
康托定理
定理1.|M|＜|2ᴹ|
|M|＜|2ᴹ|。
老师的证明思路
[证] 1ˉ A⊂2ᴹ，N~A
A＝{{X}|x∈M}
2° M ~ ←╳ 2ᴹ 反证法假若不然則∃φ，φ：M→ 2ᴹ φ是双射∀x∈M，φ(x)∈2ᴹ φ(x)⊆M
∃b，φ(b)＝ф∈2ᴹ
∃g，φ(g)＝M∈2ᴹ
√
x ∈φ(x)───好元素
＜
x ⋶ φ(x)───坏元素
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
令T为M中所有坏元素之集
T⊂M. T∈2ᴹ
∃m∈M，使φ(m)=T
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
m好 ⇒ m坏！
{
m坏 ⇒ m好！
证明：
令A＝{{x}|x ∈ M}，显然A⊂2ᴹ且A~M。因此M与2ᴹ的一个真子集对等。
我们采用反证法证明M与2ᴹ不对等。
如若不然，必然存在一个双射φ：M → 2ᴹ。对于∀x ∈ M，必然有φ(x)∈2ᴹ，即φ(x) ⊆ M，对于x而言，必然是下面两种情况之一：x∈φ(x)，x∉φ(x)。
若x∈φ(x)，则定义x为好元素；若x∉φ(x)，则定义x为坏元素。令T为所有坏元素的集合，由于φ(x)是双射(这里利用的是满射性质)，故而必然存在α∈M，使得φ(α)＝∅∈2ᴹ，存在b∈M，使得φ(b)＝M∈2ᴹ，显然α∉∅，b∈M，故而α是坏元素，b是好元素，因此可得∅ ⊂ T ⊂ M。
由于φ(x)是双射(这里利用的是满射性质)，必然存在c∈M使得φ(c)＝T∈2ᴹ，若c是好元素，则c∉T，但根据坏元素定义可得c是坏元素；若c是坏元素，则c∈T，但根据好元素定义可得c是好元素。一个元素不能既是坏元素，也是好元素，即∀x∈M，不能同时属于T和M\T，由此导出矛盾。
因此M与2ᴹ不对等。
证毕！
康托——波恩斯坦定理
定理1.设A，B为集
f：A→B，g：B→A.
若f，g是单射.則A~B
我们知道存在A到B的单射，等价于存在A到B子集的一一映射，故而康托——波恩斯坦定理还可以表述为：假定A' ⊆ A，B' ⊆ B，若A ~ B'，B ~ A'，则A ~ B。
基数的三歧性定理
❖对任意集合A，B，或者|A|＜|B|，或者|A|＝
|B|，或者|B|＜|A|，且不能有两个式子同时成立。
参考
参考 哈尔滨工业大学的网课 集合论与图论课程主页
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