一个模型论证明题

定理：假设 T 是一个全称语句集，且 T⊨∀x∃yP(x，y) ，那么存在有限个项 t₁(x)，⋯，tₙ(x) 满足 T⊨∀x(⋁ᵢ≤ₙ P(x，tᵢ(x))) 。

证明：否则的话，对于任意有限项都有t₁(x)，⋯，tₙ(x)都有 T，⋀ ᵢ≤ₙ ¬P(x，tᵢ (x))⊭ψ∧ ¬ψ ，根据紧致性定理，存在模型 𝕸 满足 𝕸 ⊨ T∪{¬P(x，t(x))：t∈Term} 。设 x 在 𝕸 的赋值为 m ，令 𝕹 是 m 生成的最小子结构，由于 T 是全称语句集，因此 𝕹 ⊨ T ∧ ∀y (¬P(m，y)) ，这与假设矛盾，反证定理成立。