良定义(well-defined)

一般我们是在讨论一个函数的时候关注“良定义”(well-defined)，为什么呢？假设我们讨论一个关系 R(x，y)⊆A×A （出于简便我们只考察二元关系），我们不用担心是否有 ∀x∃!yRxy 或者其它别的要求，因为任意 P⊆A×A 都是一个关系。但函数就不一样了，我们需要知道 R 到底是不是一个函数，即它是否满足 ∀x∃!yRxy 。

1.1.3设R是W上的二元关系。在例1.2中，我们定义R的自反闭包为R∪{(u，u)|u ∈ W}. 但我们也可以给出类似于这些的定义

1.2模态语言

定义1.6中的R⁺和R*，即它是W上包含R的最小自反关系：

RΓ＝∩{R'|R'是W & R ⊆ R'上的自反二元关系}.

解释为什么这个新定义(以及R⁺和R*的定义)是好定义的，证明了自反闭包的两个定义的等价性。最后，证明了R⁺uυ当仅当有一列元素序列u＝ω₀，ω₁，. . .，ωₙ＝υ 使得对于i＜n我们有Rωᵢωᵢ₊₁，给出了自反传递闭包的相似序列定义。

在问题1.1.3中，作者要求我们判断“反射闭包”这个概念是不是良定义的。我们称 S 是 R 的反射闭包，当且仅当 S⊇R 且 ∀x∈dom(S)，(x，x)∈S 。作者采用了如下定义方式：

S＝⋂{P：P⊇R∧P是反射闭包} ，注意到这个定义方式本身就是定义了从 R 到 S 的函数： R↦S ，因此我们的任务就转化为“ R↦S 这个映射是不是一个函数？”换言之，“是否满足 ∀R∃!S(R↦S) ？”