特殊篇章（数学解释）八

可数不完全的超滤生成的超幂模型是可数饱和：

事实上我们有比题目更好的条件：假设可数语言 Ը， I 是指标集， U 是 I 上的可数不完全超滤， 𝕬ᵢ 是 Ը 模型，那么 ∏ᵢ 𝕬ᵢ/≡∪=𝕬 是 ω₁ 饱和模型。

证明：假设 B ⊆ A 是一个可数子集， p(x) 是以 B 中元素为参数的一个型，有可数语言可得 p(x) 可数，因此不妨设

p(x)={ψₙ(x，[fₙ₁]，⋯，[fₙₖ])}ᵢ＜ω （为方便起见，我们设 ψᵢ(x，y→) 中的自由变元个数相同，都为 k＋1 ）。令 ϕₙ(x)＝⋀ᵢ≤ₙ ψᵢ(x) ，由于 p(x) 在 𝕬 中有穷可满足，因此对于任意 n ，都有 𝕬 实现 ϕₙ(x) ，即 Yᵢ＝{i∈I：𝕬ᵢ ⊨ ∃xϕₙ(x，fₙ₁(i)，⋯，fₙₖ(i))}∈U 。

由于 U 是可数不完全的，因此存在序列 X₀⊃⋯⊃Xₙ⊃⋯ 满足 ∀i∈ω，Xᵢ∈U 且 ⋂Xᵢ＝∅ ，令 Zᵢ＝Xᵢ∩Yᵢ ，那么 Zᵢ∈U∧⋂ᵢ Zᵢ＝∅ 。定义 ρ：I→ω 满足 ρ(i)＝max{n∈ω：i∈Zn} ，显然有 i∈Zₙ ↔ ρ(i)≥n 。现在我们定义一个函数 g：I→⋃ᵢ Aᵢ ，使得 [g] 实现 p(x) ：假设 i∈I∧ρ(i)＝0 ，那么令 g(i) 为 𝕬ᵢ 中任意元素；假设 ρ(i)＞0 ，那么 𝕬ᵢ ⊨ ∃xϕᵨ₍ᵢ₎(x，fᵨ₍ᵢ₎₁(i)，⋯，fᵨ₍ᵢ₎ₙ(i)n(i))，令 g(i)

满足 𝕬ᵢ ⊨ ϕᵨ₍ᵢ₎(g(i)，fᵨ₍ᵢ₎₁(i)，⋯，fᵨ₍ᵢ₎ₙ (i)) 。不难看出 [g] 在 𝕬 中实现了 p(x) ，即对于任意 ψ(x)∈p(x) 、都有 {i∈I：𝕬ᵢ ⊨ ψ(g(i))}∈U ，因此定理成立。 ⊣