莱因哈特基数与伯克利基数（第二版本）

莱因哈特基数Reinhardt基数

是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x，a)}对于某些集合a和公式Φ.

但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.

还有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。

一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.

另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。

又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。

这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。

这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾

(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。

为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。

对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1)，m = ( elementary )

伯克利基数

Berkeley 基数

是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：

对于包含k和α＜k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜K.

Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。

这意味着我们有基本的j1，j2， j3...

j1：(Vk，∈)→(VK，∈)，

j2：(VK，∈，j1)→(Vk，∈，j1)，

j3：(Vk，∈，j1，j2)→(VK，∈，j1，j2)等等。

这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。

因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。