（番外篇章）逻辑论文

ω逻辑初级读本

2006年1月

DOI:10.1007/3-7643-7692-9_1

在书中：集合论(第1-28页)

作者:

琼·巴加利亚

加泰罗尼亚研究和高等研究院(ICREA)和巴塞罗纳大学

Neus Castells

保罗·拉森

摘要

在[12]中，Hugh Woodin引入了ω逻辑，这是一种受最近大型基数工作启发的集合宇宙中的真理方法。 对ω逻辑的解释出现在[13，14，1，15，16，17]中。相对于已发表的文献，本文给出了ω-逻辑的一些基本事实的证明 到ω逻辑的一般不变性和ω猜想。

一个ω逻辑素数琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和保罗·拉尔森摘要。在[12]中，Hugh Woodin引入了ω逻辑，这是一种受最近在大型基数上的工作启发的在集合的宇宙中寻找真理的方法。对ω逻辑的解释出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这篇文章中，我们给出了关于ω-逻辑的一些基本事实的证明，相对于已发表的文献，导致了ω-逻辑的一般不变性和ω-猜想。在…里引论现代集合论中的一组结果，称为绝对结果，表明某些大基数的存在意味着某些句子的真值不能通过强制改变。另一组结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些规律性，这又意味着存在满足其他大基数性质的模型。第一种类型的结果表明了一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在everyforcing extension中成立，则它们是有效的。经过一些技术修改，这就是Woodin的ω逻辑，它首次出现在[12]中。第二类结果表明，在ω逻辑中应该有一种有效性的内部表征。Woodin已经提出了这样一个特征，并且它成功的猜想被称为ω猜想。已经发表了几篇关于ω逻辑和ω猜想的说明性论文[1，13，14，15，16，17]。在这里，我们将讨论ω逻辑的技术背景，并证明该领域的一些基本定理。本文假设了集合论的基本知识，包括构造性和强制。所有未定义的概念都可以在下式中找到[4]

1.Ω1.1.准备工作。关键词和短语。ω-逻辑–伍德丁基数–A-闭集–泛Bai resets–ω-猜想。第一作者部分得到了科学和技术部BFM2002-03236和加泰罗尼亚总委员会2002SGR 00126研究项目的支持。第三作者部分受NSF资助DMS-0401603。本文是在第三位提交人在Matem`atica接待中心(CRM)期间撰写的，在此感谢教育、文化和体育部流动奖学金的支持。第一位和第三位作者在新加坡国立大学数学科学研究所期间，于2005年7月最终完成。1在本文中，“强制”是指“设定强制”

JOAN BAGARIA、NEUS CASTELLS和paul larsongiven给定一个完整的布尔代数Bin V，我们可以通过在序数On:VB0=∅VBλ=[β＜λVBβ类上递归来定义布尔值模型VB，如果λ是一个极限序数Bα+1 ={f:X→B|X⊆VBα},Then，VB = sα∈在VBα上。VB的元素叫做B-names。xof vhas的每个元素都有一个标准的B-name ˇx，归纳定义为:ˇ∅=∅和ˇx:ˇy:y∈x }→{ 1b }。对于每个x∈VB，设ρ(x) = min{α∈On |x∈VBα+1}，xinVB的秩。给定ϕ，在VB中具有参数的集合论语言的公式，我们说在VBif中ϕis为真，其布尔值为1B，即VB ϕiff [[ϕ]]B= 1B，其中[[ ]]Bis由对(ρ(x)，ρ(y))的归纳定义，在序数对的规范良好排序下，以及公式的复杂性下(参见[4])

可以认为是通过迭代B值幂集运算构造的。模由[[x=y]]B= 1给出的等价关系，VBα在布尔值模型VB的意义下是精确的vα(见[4]):命题1.1。对于每一个序数α，和每一个完全布尔代数b，VBα≦(vˊα)VB，即对于每一个x∈vb,(∃y∈vbα[[x=y]]b= 1)iff[[x∈vˊα]]b = 1b。推论1.2。对于每个序数α和每个完全布尔代数b，VBαϕiffVB”vˊαϕ".记法:I)如果Pis是偏序，那么我们为VB写VP，其中B=r.o.(P)是P的正则开完备(见[4])。ii)给定集合论的Ma模型，我们将为(Vα)写Mα，为(VBα)写MBα，M= (Vα)MB。四)T∪{ϕ}永远是集合论语言中的一组句子,通常延伸Z F C。五)我们将写中国电信可数传递的∈表示"…开本":十二个月倒三角形。六)我们将把工商管理硕士。写成c完全布尔代数。vii)为A⊆稀有，我们写l(一,稀有)对于l({ A }∩稀有),最小的传递性包含所有序数的ZF模型，A，和所有的真实。像往常一样关于al数 将成为拜尔空间的一个元素普通= (ωω, τ ),在哪里τ是乘积拓扑，离散拓扑打开ω. 因此设置稀有是所有函数的集合ω到…里面ω。到处在本文中，我们经常使用通用滤波器来代替布尔值模特。 每种谈话方式都可以用另一种方式进行常规的重新解释。

ω逻辑初级读本 3让P成为一种强迫观念。 我们说 ˙x是一个简单的P-名字真正的数字如果:我) 的要素 ˙x具有以下形式( ˇ(名词，m)，p)与p∈P和名词，m ∈ω,以便p°P˙x(ˇn) = ˇm.二) 尽管n∈ω,{p∈P| ∃m吮吸h那个( ˇ(名词，m)，p)∈˙x}是最大的的反链P.F或者任何强迫性的想法P为了所有人P名字τ对于一个真实的存在一个简单的P-姓名x到这样的程度°Pτ= ˙x. 因此，任何P-通用滤波器将解释这些two以同样的方式命名.让：= {x∈ωω|Ex有理有据}，giv在哪里（构成动词）表示“使处于…状态”x∈ωω,Ex：={(名词，m)∈ω×ω|x(Γ(名词，m)) = 0}，带有γ一些固定的递归双射在...之间ω×ω和ω. 回想一下，它是一个完整的π11设置(参见[4])。让T是一个其模型自然包含一个子模型的理论普通阿砣的算术。 模特M关于T是一个ω-型号如果普通M是标准的，也就是说同构于ω. 在这种情况下，我们自然会认同蒂菲M与其同构复制M0其中普通M0是ω.静态测试ower For一种数据类型转换函数（用于计算机编程），由W介绍o20世纪80年代的奥丁用于证明关于ω-逻辑的一些重要事实:定义1.3。 (参见[6])(静止到wer Forcing)我) 一套α6=∅是静止的如果对于任何功能F: [∪α]＜ω → ∪α，那里存在b∈a到这样的程度F”[b]＜ω ⊆b.ii)鉴于一个非常难以接近的红衣主教κ，我们定义了静止的Tower For一种数据类型转换函数（用于计算机编程） 观念: 它的一组条件是P＜κ ={α∈Vκ：α是静止的},该顺序由下式定义:α≤biff∪b⊆ ∪α

和{Z∩(∪b)|Z∈α} ⊆ b.F第1.4幕。 考虑到γ ＜ δ 很难接近，α=Pω1(Vγ)∈P＜δ.赞成的:考虑到F: [Vγ]＜ω →Vγ，让x∈[Vγ]＜ω 并且让:A0=x，An+1 =An∪ {F(y) ： y∈[An]＜ω}让b=Sn∈ωAn. 所以，b∈ Pω1(Vγ)和F”[b]＜ω ⊆b

回想一下大基数的概念恳求餐车迪纳尔:定义1.5。 ([10]) 红衣主教δ是一个恳求din基数如果对于每个函数f:δ→δ存在着κ＜δ随着f”κ⊆κ, 和初等嵌入j：V→M有临界点κ到这样的程度Vj(f)(κ)⊆M.定理1.6。(比较[6]) 假如δ是一种拉拢晚餐红衣主教和那个 G⊆P＜δ 是一个V-通用滤波器。 然后在V[G]有一个基本嵌入添加j：V→M，与M可传递的，这样V[G]²M＜δ ⊆M和j(δ) = δ.更大的结束了，对所有人α∈P＜δ ,α∈Giffj”∪α∈j(α).