超宇宙计划（第二版本）篇章

数学使徒（MathematicalApostle）

注：超宇宙计划（第二版本）篇章（2/2）

§3.优选宇宙的标准。哪些宇宙在超宇宙计划？

　　

在第1节中，我们指出，通过订阅超宇宙项目一应符合首选项目的原则和标准从对超宇宙的公正审视中产生的宇宙，以便获得合理的宇宙选择。因此，该程序排除集合论或数学实践的特定领域产生的需求在制定优选宇宙的标准中发挥作用的可能性。

　　

因此，人们应该更喜欢其中的宇宙原则认为，解决集合的特定领域中出现的困难理论或数学不适合这样的标准。让我们给一些这种非标准的例子。

　

a.广义连续统假说（GCH），在解决集合论中的一系列问题；

　　

b.V=L，一个产生强大的无限组合数学​的理论可以用来解决集合论中比GCH更多的问题；

　　

c.射影确定性（PD），它产生了一个有吸引力的实数射影集理论；

　　

d.强制公理（如MA、BPFA、BMM），与V=L一样，具有强大的组合强度，这类标准反映了集合论者特定群体的利益或者数学家。因此，可能存在许多不同的此类标准。

　　

因为存在集合论或数学领域​。此外，作为集合论发生了变化，这些标准也可能发生变化。因此，一开始，没有选择宇宙可以根据它们来制造，这些宇宙可以被认为是普遍的在作为一个整体的集合论界中被公认为合法的。是有更好的方法来选择首选的宇宙吗？

　　

超宇宙计划对这个问题的肯定回答。

　　

相反，通过只关注超宇宙的最普遍特征，并根据这些特征制定原理，人们就能够提出（并证明）首选宇宙的标准。这是基于显而易见的事实是，超宇宙由ZFC模型组成，可能是相互关联的（一些宇宙可能是，例如，强迫扩展，地面模型，或对其他模型的初始分段进行排序），并且可以合理地选择超宇宙的元素在这种比较中是“优选的”。这些明确地与宇宙相联系满足最大化或无所不知。

　　

在考虑超宇宙的一个元素如何在在最大化的情况下，让我们提到一个根据选择宇宙的危险从对超宇宙的公正审视中得出的原则和标准。

　　

这样做可能会导致采用一阶语句与事实上既定的理论真理相矛盾。让我们举一个例子。一个人可能希望基于最小性原则来选择优选的宇宙。因此，人们的标准是，首选的宇宙应该尽可能小。这个标准可能导致只选择一个宇宙，ZFC的最小模型，这意味着ZFC的集合模型​不存在的陈述表达了V的一个性质。

　　

然而，这与集合论实践有着明显的冲突，即ZFC的集合模型的存在确实属于事实集合论的范畴真相，这同样适用于受极小性原则启发的较弱标准，根据该原则，人们应该更喜欢满足公理的宇宙尽管可构造性公理​确实存在允许ZFC的集合模型的存在（以及更多），它不允许对于具有可测量基数的ZFC的内部模型的存在性。这也与集合论实践相冲突，即集合论的存在模型属于事实集合论真理的范畴（重点是在附录中进一步讨论）。

　　

我们现在谈谈最大化原则。要说明的第一点最大性是指在超宇宙中不可能存在“结构最大性”，即优选的宇宙应该包含所有可能的东西序数或实数。因为没有最高的可数传递模型的ZFC，并且在任何这样的模型上，可以添加新的real来获得另一个这样的模型。那么，什么样的最大化原则可以强加给要素呢超宇宙的？

　　

｛Logical）极大性。设v是一个变量，其范围在的元素上超宇宙。v是（逻辑上）极大的，如果所有的集合论陈述某些在外部成立的参数，即在某个包含v的宇宙中作为“亚宇宙”，也在内部持有，即在v的某些“亚宇宙中”。

　　

取决于参数和“亚宇宙”的概念，极大宇宙的不同标准产生于这一原则是合理的。这里有两个例子。

　　

•有序（或垂直）标准)最大化。这个标准适用于关于序数的最大性，其中模型已经固定了发电机组​运行。让我们定义一个宇宙ω为v如果v是ω的（适当）秩初始段。v是序数极大当它具有延长ω，使得对于所有一阶公式tp和子集v的A属于ω，如果＜p（A）在ω中成立，则＜p（An va）在vß中成立，对于v中的一对序数a<ß（其中va表示集合秩小于a）的v中的集合的集合。

　　

•功率集标准｛或水平)最大化。这个标准很有吸引力关于幂集的最大化，其中模型具有固定的序数。如果无参数句子在v的某个外部模型中成立（即，在某个宇宙ω中，包含与v具有相同序数的v），则它在v的某些内部模型中成立（即在某些宇宙中，v中包含的vq具有与v相同的序数）。

　　

序（或垂直）极大性在集合论中有着悠久的历史。它也是被称为高阶反射原理​，并已被证明暗示（并证明）“小”大基数的存在（即，与V=L一致的大基数概念，如不可达、弱紧，co-Erdös基数，…）。相反，发电机组的最大值仅为最近制定的。事实上，它相当于IMH发言指出，通过传递到v的外部模型，内部一致性保持不变，即保持不变的一组无参数句子v的某些内部模型没有增加。评估的兼容性具有事实集理论真理的幂集最大性不是一件小事。因为IMH也驳斥了不可访问基数的存在。

　　

作为投影确定性（PD）（参见[7]）。这些影响迫使重新审视大基数和确定性在集合论实践中的作用。因此，可以看到功率集最大值可能是。毕竟与事实上的集合论真理相兼容。对于，如果一个人接受大基数在集合论中的作用可以正确地描述为它们在内部模型中的存在，而不是在V中的存在是一个事实。事实上的集合论真理，并且PD的重要性被其无参数版本，则幂集最大性与的兼容性集合论实践得以恢复：IMH事实上与非常大基数的内部模型和无参数PD（事实上具有OD确定性而没有实际参数）。我们将返回大基数公理和PD在附录中集合论中的作用。

　　

对于首选宇宙的合理标准，可以得出什么结论？到目前为止，我们已经制定了两个候选标准：序数极大性和幂集极大性。理想的情况是将它们合并为一个一致的标准，即at满足的标准超宇宙的至少一个元素。这并非小事，因为功率设置极大性和有序极大性相互矛盾。一个人就这样被引导以下猜想：

　　

综合猜想。设功率集最大值*（IMH*）为功率集极大性（IMH）局限于序数极大普遍性（即，如果一个句子在v的序数极大外部模型中成立，那么它在v）的内部模型中成立。则幂集极大性*（IMH*）与序数极大性的结合是一致的。也就是说，存在宇宙​其同时满足这两个标准。

　　

综合猜想的证明触手可及，因为它只需要现有的证明IMH一致性的方法（见[8]）仔细了解Jensen编码是如何在大小基数​性质的存在。通过超宇宙计划，综合猜想在产生新的（一阶）集合论方面是有效的公理，包括独立问题的解决方案。作为宇宙见证综合猜想（即，它们是序数极大的并且满足IMH*）是优选的宇宙，所有这些宇宙共享的一阶性质宇宙在V中是真的，可以作为新的公理。的示例.

　　

此类声明如下（见[7]、[8]、[1]）：

　　

1.存在具有任意Mitchell阶的可测量基数的大小小基数和内部模型。

　　

2.对于一些实R，R#不存在，因此Jensen覆盖与关于£[/？]，可构建的宇宙与R相对立。结果：

　　

3.没有可测量的基数，奇异基数​假设是

　　

是的，连续体不是实值可测的，投影确定性（PD）是假的，适当的强迫公理是假的，并且存在非Borei同构的非Borel分析集。

连续体假说仍然没有定论，即使假设存在一个服从综合猜想的宇宙。一个人需要更强的幂集最大性的版本比内部模型假设要解决CH，即具有全局绝对参数的公式的假设。A由此产生的强内部模型假说（SIMH）的一致性证明然而仍然缺乏。

　　

综合科学和大综合？另一个标准来源首选宇宙是全知的原理宇宙是全知全能的。如果它能够描述在其他宇宙中什么是真的。一个精确的基于这一原则的标准如下。

　　

无所不知的标准。设O是任意句子的集合来自v的参数可以保持在v的一些外部模型中。那么<I>是v中可定义的一阶。

　　

这种说法最早出现在Mack Stanley未发表的作品中，他在作品中展示了无所不知的宇宙（用我们的术语来说），假设一个可测量基数的一致性稍低（粗略地说，许多拉姆齐​基数都是平稳的）。人们可能会想作为权力集最大化形式的泛科学；然而，这不太可能而功率集最大化不允许任何参数omniscience允许任意设置参数。

　　

用泛科学综合有序最大性应该不难，在存在的情况下对Dodd-Jensen核心模型使用不可分辨性​拉姆齐基数。一个有趣的悬而未决的问题是如何实现更宏伟功率集最大化的合成。显而易见的方法，主张权力全知和有序极大宇宙的集极大性，看起来是不一致的然而，可以合理地推测综合是可能的，但它的公式将是微妙的，数学验证一致性可能具有挑战性。

　　

§4.结论。本文介绍的超宇宙程序是一个确立理论真理的新途径，旨在拓展真理的范畴ZFC之外的语句。为此，该程序开发了一个合理的策略，并将该策略的内在合理性视为所获得结果的真实性的保证。更确切地说，有人介绍超宇宙是多元宇宙概念最合适的实现并将其用于比较的不同图片集合论宇宙（ZFC的可数传递模型）。共享的一阶属性被所有优选的宇宙认为在V中是真的。通过调用标准在有序（垂直）最大值和幂集（水平）最大值中，a获得了程序的适当实现。通过假设超宇宙中满足自然合成的元素的存在这些标准（即综合猜想）中，我们得出了以下结论：

　　

这在V中是真的，但独立于ZFC。这些说法自相矛盾非常大基数的存在，但与它们在中的存在一致内部模型，它们与投影确定性相矛盾，但是一致的具有可序数定义的实数集的判定性参数。这导致了对大基数和集合论中的确定性。

　　

值得注意的是，尽管本文提出的超宇宙程序的实现未能解决许多有趣的问题​ZFC独立的问题，并提出了需要进一步研究的问题（从综合猜想的一致性开始），这是通过决不会破坏的整体有效性和数学成果程序。恰恰相反，所获得的研究结果和受超宇宙计划启发的发展所带来的问题证明了它的数学潜力，并谈到了它对未来，作为进一步的原则（如无所不知)激励标准对优选的宇宙进行分析和发现，并寻求综合对于他们来说，结合最大化。

　　

§5.附录：超宇宙程序，极大性，大基数和PD。本附录致力于更深入地研究超宇宙计划与扩展的替代方案的关系集合论真值（超越ZFC和其他事实上的真集合论陈述），特别是大基数和投射行列式​（PD）集合论公理的候选者。

　　

Gödel的新公理程序，在第1节中概述，包括考虑所有集合的系统的一些最大性质的建议以扩展ZFC。由于在超宇宙程序中使用最大性作为优选宇宙的标准的激励原则，我们在上面主张，这个项目符合哥德尔的建议。属于。　

　　

当然，在声称这一点的同时，我们也意识到关于超宇宙计划中开发的最大化与新的替代提案中援引的性质不同集合理论公理。这尤其适用于以下内容的提案ZFC应该通过添加合适的大基数来扩大假设，因为这些都忠实于我们对所有集合的宇宙最大特征的期望。考虑以下报价ω（[21]，第553页）：

　　

我们相信所有序数的集合都非常“长”，并且每个序数（无穷大的）幂集是很厚的。因此，任何公理这样的效果符合我们的直观概念。

　　

通过像ω一样给出序数的长度和厚度幂集作为的最大性质的例子系统在所有集合中，一个事实上的出发点是假设“最大特性属于所有集合的系统“一”是指V的本体论​特征与什么有关“存在”于其中。在做出这一假设时，人们可能有意V作为一个独立存在的、确定无疑的现实（这似乎是Godei在[9]中的选择），或者（至少部分）作为一个确定的认识论​者概念，一种我们自然产生的宇宙的心理表征​根据我们关于集合的直觉（ω似乎以这种方式在[21]中看到了F，吸引了集合的迭代概念）。在任何一种情况下，人们都只能意识到集合系统通过使关于V的存在主义​断言。事实上，旨在表明大基数的存在见证了基数的长度和幂集的厚度，因此忠实于该假设宇宙是最大的，在文献中反复给出。

　　

强制公理也被提倡为集合论的“自然”公理，考虑到它们的“最大化”存在含义（见[2]）。

　　

在超宇宙程序中，V在任何地方都不能作为独立的调用现有的确定无疑的现实。它也没有被视为一幅坚定的画面关于集合的直觉强加给我们的宇宙。相反V是一个元数学结果。这样说，我们不是思考总结过程的最终结果。我们的想法是一个理想条件，人们只能越来越好地近似它。在里面超宇宙程序，V表示满足任何条件的结构集合论的陈述应该被视为真实的（或者作为事实或者作为法律上的集合论真理）。即V的内容，远远不是根据一个事实来理解，这个事实本身是确定的，我们做集合论时应该忠实，是指的产物随着集合论的发展程序的开发，从而丰富了领域设定理论真理。

　　

特别是，在超宇宙计划中，V扮演着一个结果的角色，只有从超宇宙作为多元宇宙概念的最合适的实例化。事实上，在超宇宙计划一个支持多元宇宙观点的解释。

　　

正如Woodin所说的那样，他说“Cohen强迫的方法的改进在它最初被发现后的几十年里，以及由此产生的大量无法解决的问题，在实际意义上几乎迫使人们采用“当代集合论中的多元宇宙立场”（[23]，第103页）。

　　

考虑一下，从多元宇宙的角度来看，一个人的作品并不是独一无二的，“所有集合的系统”，但有许多不同的集合，并将它们作为作为模型的元数学结构。从多元宇宙的角度。

　　

因此，人们自然地被引导去理解表达式“极大性质”关于所有集合的系统”的元数学特征比较集合论模型。这就是在超宇宙中所做的程序像垂直和水平最大值这样的标准是严格的表示超宇宙的一个元素，即ZFC的可数传递模型，显示“最大性质”意味着什么。把它放进去。

　　

换句话说，在超宇宙计划中，没有必要为了忠实于系统的观点而对V做出存在断言的所有集合必须是极大的；特别是没有必要假设宇宙中存在大基数。反之亦然，类似的含义关于大基数的综合猜想的不被视为与关于“所有集合的系统”的最大性期望相矛盾。

　　

如前所述，在超宇宙计划中V中非常大的基数（在可测量值之上）不仅应该是与ZFC模型的最大化期望兼容，它是也被视为与事实上的集合论真理相兼容。如下所示从对大基数假设在当代集合论中所起作用的谨慎审视，得出这样的观点基数在集合论中以多种方式出现，它们的重要性由此而来从它们在内部模型中的存在。事实上，当证明ZFC的大基数扩展的一致性强度落入良序时层次一只需要考虑内部模型中的大基数存在性。

　　

这也是一致性上限和下限结果的情况大基数在集合论中的重要用途。对于上界结果一从包含大基数的ZFC的模型M开始，然后通过强迫产生了一个外部模型M[G]，其中有一些重要的陈述持有。请注意，在生成的模型中，大型基数可能不存在；

　　

它们只存在于一个内部模型中，即原始的M。当然，我们不必假设初始M是全宇宙V，这就足够了，它可以是任何具有大基数的内部模型。在下界结果中从满足兴趣陈述的模型M开始，然后构造具有大型基数的内部模型；这是多德-詹森核心模型程序；参见[12]。正如斯蒂尔所指出的，“我们无法进行比较PFA的一致性强度和的完全扩展的存在性Lebesgue测度除了将每个都与大基数层次相关之外”（[20]，脚注22，第427页）。通过援引这一事实，他补充道：“庞大的基本等级制度至关重要”。然而，在再次证明一致性结果时这使得大基数成为“必要的”，人们只假设它们存在于内部模型17类似的论点适用于内部模型程序，其目的是证明如果V中存在大基数，那么它们也存在表现良好的内部模型；这相当于显示的程序。如果大基数存在于内部模型中，那么它们也存在于偶数中更小、性能良好的内部模型。

　　

对上述的一个可能的反对意见是在V中使用大基数，而不是在内部模型中证明确定性公理的形式，诸如PD、实数的所有投影集的确定性。有两个断言PD是“真实的”的常见理由。一个原因是基于关于外推法​：

　　

由于Borei和分析集表现良好（在感觉他们是勒贝格​可衡量的，有拜尔和完美的集合性质），并且PD将其扩展到所有投影集，则PD必须是“真”的。

　　

但这一论点有明确的反驳。例如，考虑LévyShoenfield绝对性，XÍ的绝对性，关于的陈述任意外部模型。这在ZFC中是可证明的，即使允许任意真实参数。外推法自然会导致S？绝对性任意实参数。但即使是具有任意实数的S3绝对性参数是可证明错误的。具有任意实参数的一致性原理只能通过人为地取“外模”来表示“设置通用外部模型”。一旦将其放宽到类泛型外部模型，原理变得不一致。

　　

因此，如果从Xi推断时很容易导致不一致，则为3英镑绝对性，如何证明从2}可测量性到投影可测性？更合理的是没有参数的外推。事实上，与版本不同，无参数的S3绝对性具有任意实参数，与一致（实际上是从）IMH。因此，关于投射陈述的一个自然结论是以下内容：一致性原则，它断言属性对无参数投影集成立对任意投影​集也成立是错误的。因此射影集的正则性​是一个合理的外推从Borei的正则性和分析集，只要不允许参数。事实上，无参数PD（或者甚至没有实参数的有序可定义确定性）和具有非常大基数与IMH一致（很可能与综合猜想），但是具有参数的PD和内部的存在具有包含任意给定实数的非常大基数的模型不是。

　　

断言PD“真相”的第二个原因是它“解决了所有自然问题”关于HC（可遗传可数集​的集合）的问题”。这个断言基于这样一个事实，即假设基数很大，则不能更改集强迫HC的一阶理论，这个理论在某种意义上是。但这忽略了HC的理论可以改变的事实，即使在最小可能的水平（S3），如果允许其他放大方式的话宇宙，甚至是保存非常大基数存在的方式。

　　

有一些简单的例子可以说明这种说法（比如存在具有少量“可迭代性”的非常大基数的模型）。

　　

超宇宙计划通过使用，最大性原理也给出了关于HC理论的有力结论（与PD冲突），但不需要提及“设置强制”。

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