注：ω-逻辑（1/3）篇章！
art.一（在元音音素前）Ω-逻辑入门
琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森
抽象。在[12]中，休W面向对象的din引入了ω逻辑，一种集合宇宙中的真理受到最近w在大红雀中工作。
对w逻辑的解释出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这论文中我们给出了关于ω逻辑的一些基本事实的证明出版的文献，导致ω-的一般不变性
逻辑和ω猜想。
介绍
现代集合论中的一组结果，叫做绝对r结果，表明某些大枢机主教的存在意味着真相特定sen的值腾讯不能靠强迫来改变¹，另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些规律性的性质，这反过来又意味着满足其他大基数性质的模型。第一类结果提出一个逻辑，其中语句被称为v如果他们坚持每一个强制延伸。经过一些技术上的修改，这是伍丁的ω-逻辑，最早出现在[12]中。第二类结果表明应该有一种v的内部特征ω逻辑中的有效性。
W面向对象的din提出了这样一个特征，和猜想成功被称为ω猜想。几篇说明性论文ω逻辑上的ers和ω猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。我们在这里
简要讨论ω逻辑的技术背景，并证明e.一些这方面的基本定理。
本文假设了集合论的基本知识，包括con-结构性和强迫性。所有未定义的概念都可以在[4]中找到。
1.⊨Ω
1.1.准备工作。
＿＿＿＿＿
关键词和phrases。ω-逻辑-伍德丁基数-A-闭集-泛拜尔集合-ω-猜想。
第一作者得到了的研究项目BFM2002-03236的部分支持
科学和技术部cnolog阿和的2002SGR00126加泰罗尼亚总局
第三作者部分受NSF资助DMS-0401603。这篇论文是
写在第三个作者住在R中心ccercaMatem阿蒂卡(CRM)，谁的
在移动轮下的支撑的船舶教育散化与行为非常感谢。它在第一和第三作者阶段最终完成留在国立大学数学科学研究所新加坡，七月
2005.
¹在本文中，我们所说的“强制”是指“集合强制”。Advertisement
2
琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAIL·拉森
给定一个完整的布尔代数B在V，我们可以定义布尔无；非；缺乏有价值的mσ倒三角形Vᴮ通过对序数类的递归在：
Vᴮ₀=∅
Vᴮλ=∪Vᴮᵦ，如果λ是一个极限序数
β＜λ
Vᴮα₊₁={f：X→B│X⊆Vᴮα}
然后，Vᴮ＝∪α∈在Vᴮα.的要素Vᴮ被称为B名字。每个元素x关于V有一个斯坦达尔dB-名字x，定义的感应ivelyby： ∅＝∅，以及x：{g：g∈x}→{1ᴮ}
F或者每个x∈Vᴮ，让ρ(x)=最小值{α∈在│x∈Vᴮα+1}，的等级关于x在Vᴮ.
考虑到φ，参数为的集合论语言的公式Vᴮ我们说φ是真实的在Vᴮ如果它的布尔v值为1ᴮ，即，
Vᴮ⊨φiff[[φ]ᴮ＝1ᴮ，
其中[·]]ᴮ由对的归纳定义（ρ(x)，ρ(g))，在规范下序数对的有序性和形式的复杂性ulas(参见[4])。
Vᴮ可以认为是通过迭代B-v有值幂集
操作。模给定的等价关系by[[x＝g]ᴮ＝1，Vᴮ α是精确地Vα在布尔值模型的意义上Vᴮ(参见[4])：
提议1.1。对于每个或迪纳尔α，以及每个完整的业务对象奥利安代数B，Vᴮα≡(Vα)ⱽᴮ，即对于每个x∈Vᴮ，
(∃g∈Vᴮα[x＝g]]ᴮ＝1)iff[x∈Vα]]ᴮ＝1ᴮ.
推论1.2。F或者每个序数α，并且每个σ（完整布尔代数bmB，
Vᴮα⊨φiffVᴮ⊨“Vα⊨φ”.
符号：
我）如果P是偏序的，那么我们写Vᴾ为Vᴮ，在哪里B＝r.o(P)是关于三角形开放完井关于P(参见[4]）。
二)考虑到M集合论的模型，we会写Mα对于(Vα)ᴹ和Mᴮ α对于(Vαᴮ)ᴹ＝(Vα)ᴹᴮ.
三)送将表示一阶语言中的句子集
集合论.
四)T∪{φ}永远是集合论语言中的一组句子，通常延伸ZFC.
五）我们将写c.t.mc可数传递的∈表示“···开本”：twelvemo到三角形.
六)我们将把c.B.a.写成c完全布尔代数.
vii）为A⊆稀有，we写L(一，稀有)对于L({A})∪稀有)，最小的传递性包含所有序数的ZF模型，A，和所有的真实。
像往常一样关于αl数将成为拜尔空间的一个元素普通＝（ωω，τ），在哪里τ是乘积拓扑，离散拓扑打开ω。.因此
设置稀有是所有函数的集合ω到···里面ω。到处在本文中，我们经常使用通用滤波器来代替布尔值模特。每种谈话方式都可以用另一种方式进行常规的重新解释。
ω逻辑初级读本3
让P成为一种强迫观念。我们说х是一个简单的P-名字真正的数字如果：
我)的要素i具有以下形式( ˇ (名词，m），p)与p∈P和名词，m∈ω.
以便p⊩pх(n)=m.
二）尽管n∈ω.{p∈P│∃m吮吸h那个((名词，m），p）∈х）是最大的的反链P.
F或者任何强迫性的想法P为了所有人P名字τ对于一个真实的存在一个简单的P-姓名到这样的程度⊩pτ＝х.因此，任何P-通用滤波器将解释这些two以同样的方式命名.
让：＝{х∈ωω│Eₓ有理有据}，giv在哪里（构成动词）表示“使处于···状态”х∈ωω，{（名词，m）∈ω×ω│х（Γ（名词，m))＝0}，带有γ一些固定的递归双射在...之间ω×ω和ω.回想一下，它是一个完整的Π¹₁；设置(参见[4])。
让T是一个其模型自然包含一个子模型的理论普通阿砣的算术。模特M关于T是一个ω-型号如果普通ᴹ是标准的，也就是说同构于ω.在这种情况下，我们自然会认同蒂菲M与其同构复制M'其中普通ᴹ'是ω.
静态测试owerFor一种数据类型转换函数（用于计算机编程），由W介绍o20世纪80年代的奥丁用于证明关于ω-逻辑的一些重要事实：
定义1.3。(参见[6])(静止到werForcing)
我）一套α≠∅是静止的如果对于任何功能F：[∪α]＜ω→∪α，那里存在b∈α到这样的程度F”[b]＜ω⊆b.
ii)鉴于一个非常难以接近的红衣主教κ，我们定义了静止的TowerFor—种数据类型转换函数（用于计算机编程）观念：它的一组条件是
P＜κ＝{α∈Vκ：α是静止的}，
该顺序由下式定义：
α≤biff∪b⊆∪α和{Z∩(∪b)│Z∈α}⊆b.
F第1.4幕。考虑到γ＜δ很难接近，α＝Ρω₁(Vγ)∈P＜δ.
赞成的：考虑到F：[Vγ]＜ω→Vγ，让х∈[Vγ]＜ω并且让：
A₀＝х，Aₙ₊₁＝Aₙ∪{F(g)：g∈[Aₙ]＜ω}
让b＝∪ₙ∈ωAₙ.所以，b∈Ρω₁(Vγ)和F”[b]＜ω⊆b. □
回想一下大基数的概念恳求餐车迪纳尔：
定义1.5。([10])红衣主教δ是一个恳求din基数如果对于每个函数f：δ→δ存在着κ＜δ随着f”κ⊆κ，和初等嵌入j：V→M有临界点κ到这样的程度Vj（f）（κ）⊆M.
定理1.6。(比较[6])假如δ是一种拉拢晚餐红衣主教和那个G⊆Ρ＜δ是一个V-通用滤波器。然后在V[G]有一个基本嵌入添加j：V→M，与M可传递的，这样V[G]⊨M＜δ⊆M和j(δ)＝δ.
更大的结束了，对所有人α∈P＜δ，α∈Giffj”∪α∈j(α).
4琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森
1.2.的定义⊨Ω和inv压力下的变化。
定义1.7。([17])对于T∪{φ}⊆送，让
T⊨Ωφ
如果对所有中国工商银行来说。B，对于所有序数α，如果Vᴮα╞φ.
如果T⊨Ωφ，我们这样说φ是ωᴛ-有效的，还是那个φ是ω-有效fr功绩勋章T.
注意到关系的复杂性T⊨Ωφ最多是Π₂。的确，T⊨Ωφiff
∀B∀α（Ba工商管理硕士。∧α∈αOn⊨→T(Vᴮα⊨φ))
显示的表单ula是Π₂，因为是一个c.B.a是∏₁和类函数α↦Vᴮα是Π₂可定义(即，两个σ₂和Π₂可定义)在V随着B作为一个参数。
显然地，如果T⊨φ然后T⊨Ωφ.观察，豪威呃，反过来就不是了没错。事实上，我们很容易找到ωZF角-不可判定的有效句子一阶逻辑来自ZF角，即句子φ，吮吸h那个ZFC⊭φ和ZFC⊭¬φ.F或者例子，CO普通(ZFC)：尽管α∈在还有所有的CBA。
B，如果Vᴮ⊨ZFC，那么既然Vᴮα。是的标准模型ZFC，我们有Vᴮα⊨C在···上(ZFC).
在大枢机主教，关系⊨Ω在强制扩展下是绝对的：
定理1.8。([17])假设他们e存在一个道具呃鸣类喧闹汽车迪纳尔斯。如果T∪{φ}⊆S娱乐，那么对于每一个强迫观念P，
T⊨ΩφiffVᴾ⊨“T⊨Ωφ”
赞成的：⇒)让P做一个poset。栓剂oseβ，Q∈Vᴾ是这样的Vᴾ⊨“VᵦQ⊨T”.根据推论1.2，Vᴾ*Q⊨“Vᵦ⊨T”.根据假设，Vᴾ*Q⊨“Vᵦ⊨φ”，因此Vᴾ⊨“VQᵦ⊨φ”.
⇐)假设Vᴾ⊨“T⊨Ωφ”.让Qb一种强迫观念α∈在.
假如VQα⊨T和G是一个V-通用滤波器，用于Q.让κ＝│温度系数(P)│，让我们δ＞κ，α做一名伍德丁红衣主教。让
α＝{X│X≺Hκ⁺和X可数的）.
注意，由F第1.4幕，α∈Ρⱽ[G]＜δ.让Pⱽ[G]＜δ(α)成为强迫Ρⱽ[G]＜δ
让我⊆Ρⱽ[G]＜δ(α)做一个V[G]-通用滤波器。在···里V[G][我]有一个elemen-目标嵌入j：V[G]→M随着M传递性使得：
我)V[G][我]⊨M＜δ⊆M，
二)（Hκ⁺)ⱽ在...是可数的M和j(α)＜δ.(参见[6]。）
P∈M和密集子集的集合P在V是一个可数集合M，所以在M存在一个V-通用滤波器J⊆P.然后V[J]⊆V[G][我]对一些人来说偏序集S∈V[J]，有一个V[J]-通用K⊆S到这样的程度V[G][我]＝V[J][K].因为根据假设，VQα⊨T，Vⱽα[G]⊨T。然后
(Vj（α）)ᴹ＝(Vj（α）)ⱽ[G][我]＝(Vj（α）)ⱽ[J][K]⊨T.
ω逻辑初级读本5
因为Vᴾ⊨“T⊨Ωφ”，(Vj（α）)ⱽ[J][K]⊨φ.所以(Vj（α）)ᴹ⊨φ，因此Vⱽα[G]⊨φ.因此，VαQ╞φ， □
1.3.的一些属性⊨Ω.
引理1.9。对于每个环可粗略枚举的设置T∪{φ}⊆S娱乐，以下内容是等效的：
我)T⊨Ωφ.
二)∅⊨Ω“T⊨Ωφ”.
(注意，由于T是r.e.，“T⊨Ωφ”c可以写成一个句子e在S娱乐.所以，二）有道理。)
赞成的：我)⇒二)让α∈在和B工商管理硕士。假设β＜α，以及是一个c.B.a在Vᴮα到这样的程度Vᴮ⊨“VᵦQ⊨T”.然后Vᴮ*ᵦQ⊨T.由我），VᵦᴮQ⊨φ，以及因此Vᴮα⊨“VᵦQ⊨φ”.
二）⇒我)假设α∈在，B是一个中国工商协会会员，T和固定β＞α.βa极限序数。因为T是r.e.，如果Vᵦᴮ╞“ψ∈T“，那么ψ∈T.因此
Vᴮα╞ψ.因此，Vᵦᴮ╞“Vα╞T””.经过二），Vᵦᴮ╞“T╞Ωφ”.因此，Vᵦᴮ╞“Vα╞Ωφ“，我们有eVᴮα╞ φ. □
备注1.10。栓剂那是什么ZF角一致t.对于iv)假设，更多-
结束，这是一致的用...测试ZFC那Vᴮ
α╞ZFC，对于一些序数α和一些c.B.a。B。然后，
我）如果φ，对于传递集是绝对的，那么ZF角⊢（φ→∅⊨Ωφ).
二）对一些人来说φ∈送，ZF角⊬((ZFC⊨Ωφ)→φ).
三）对一些人来说φ∈送，ZF角⊬((ZFC⊨Ωφ)→φ).
四）对一些人来说φ∈送，ZF角⊬((ZFC⊨Ω“ZFC⊨Ωφ”）→(ZF角⊨Ωφ)).
赞成的：l）是清楚的。ii)适用于每个句子φ那是可以被强迫的例如，对与错荣誉勋位爵士.
iii)让φ＝“∃β(Vᵦ⊨ΩZFC)”.让M成为阿莫delofZFC.如果对每一个α每一个B在M.MᴮαZFC(称这种情况为1)，然后M⊨“ZFC⊨Ωφ”＋¬φ.否则βb至少如此Mᴮᵦ╞ZFC对某些人来说B.然后Mᴮᵦ，是···的模型ZFC，称之为普通，并有道具永远这样非常感谢α以及每一个CBA。C.
普通╞ZFC.所以，我们回到案例1。
iv)考虑句子φ＝“∃β∃γ(β＜γ∧Vᵦ⊨ZFC∧Vγ⊨ZFC)”.
让M成为···的典范ZFC到这样的程度M╞∃α∃B(Vᴮα╞ZFC).如果对每一个α以及每一个CBA。B，Mᴮα╞/φ（称这种情况为1)，然后M⊨(ZF角⊨Ω“ZFC⊨Ωφ”)＋¬(ZFC⊨Ωφ).
如果对某些人来说α和Bα.╞Mᴮφ，那就让γbe最小序数使得Mᴮγ⊨ZFC＋∃β(Vᴮᵦ⊨ZFC).让普通beMᴮ然后普通有道具埃尔蒂对于每一个α每一个C，普通ᶜ。α╞/φ，所以我们又回到了案例1。□
定理1.11(非紧性)⊨Ω).那儿有T∪{φ}⊆送这样的
那T⊨Ωφ，但对所有有限的S⊆T，S⊭Ωφ.
赞成的：让φ₀是断言的句子：有一个更大的最大极限序数.
6琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森
F或者每个n∈ω，n＞0，让φₙ是断言的句子：如果α是最大的
那么，限制序数α＋n存在.
最后，让φ就是那句断言：每个序数都有一个suc塞斯尔.
让T＝{φₙ：n∈ω}.
然后，T╞Ωφ.但是如果S⊆T那么是无限的S╞/Ωφ. □
只要再多做一点工作，我们就可以w紧性⊨Ω？也失败于T＝ZFC.事实上，回想一下Godel的对角化，对于每个公式
ψ(х)，与х唯一的自由变量和范围σ超过自然数，有是一个句子φ到这样的程度ZF角⊢（φ↔ψ(⌜φ⌝))，在哪里⌜φ⌝是术语表示σ奥德尔公司deofφ.
定理1.12。如果ZFC是一致的，然后有一个句子eφ到这样的程度
ZFC⊨Ωφ，但是对所有人来说S⊆ZFC，S⊭Ωφ.
赞成的：ψ让（x）是公式：
xσ奥德尔公司宣判φх∧∀S(S的有限子集ZF角→S⊭Ωφх)
由Codel的对角化，有一句话φ到这样的程度ZF角⊢（φ↔ψ(⌜φ⌝)).
让T⊆ZFC定义为T⊢(φ↔ψ(⌜φ⌝)).让θ成为的句子集合的连接词T.然后，∅⊢θ→(φ↔ψ(⌜φ⌝)).
索赔。ZFC⊨Ωφ.
赞成索赔的：栓剂不会吧。挑选α和B到这样的程度Vᴮ⊨ZFC+¬φ。所以，那儿有S∈Vᴮα、一组有限的句子ZF角到这样的程度Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”.
因为Vᴮα⊨ZFC，通过反射，让β＜α到这样的程度Vᴮᵦ⊨S＋¬φ，但是自从
Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”，还有Vᴮᵦ⊨S，我们获得Vᴮᵦ⊨φ，一个矛盾。 □
索赔。如果S⊆ZFC那是有限的S⊭Ωφ.
赞成索赔的：假设有S⊆ZFC定义为S⊨Ωφ。经过
引理1.9，∅⊨Ω“S⊨Ωφ”.让Bb英国广播公司..因为ZFC⊢θ＋S和Vᴮ⊨ZFC，通过反射，让α如此Vᴮα⊨θ＋S.因为∅⊨Ω“S⊨Ωφ”，Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”，即，Vᴮα⊨(∃S)(S有限和S⊨Ωφ).因此Vᴮα⊨¬ψ(⌜φ⌝).
但是自从Vᴮα⊨θ，Vᴮα⊨¬φ，与假设相矛盾S⊨Ωφ. □
2.⊢Ω
为了定义ω-prov能力关系.⊢Ω（定义2.29）与相关联的句法关系⊨Ω，也是W.H.W介绍的乌丁，我们需要回忆一些在定义中起重要作用的概念。
一路上e还将证明一些关于这些概念的有用事实。
2.1.普遍的贝尔实数集。
实数的泛贝尔集在ω逻辑中起着ω证明的作用。
回想一下，对于序数λ，一个特雷e在ω×λ是一套⊆ω＜ω×λ＜ω使得对于所有对(s，t)∈T.左手(s)＝左手(t)和(s ⨡ 我，t ⨡我)∈T对于每个我∈左手(s)∈ω.给一棵树ω×λ.p[T]＝{х∈ωω│∃f∈λω(х，f)∈[T]是这项目动作关于T，其中[T]＝{(х，f)∈ωω×λω│∀n∈ω(x ⨡ n，f ⨡ n)∈T}.
定义2.1。([2])
我）为了一个giv红衣主教κ，一组实数A是κ-通用lgBaire(κ-uB)
如果有树存在T和S在ω＜ω×λ＜ω，λ一些序数，如
那A＝p[T]和p[T]＝ωω\p[S]在任何强制扩展中
ω逻辑初级读本7
基数的偏序小于κ.我们sa那些树
让我们见证这一点A是κ-uB。
二)A ⊆ 稀有是普遍拜尔如果是的话κ-uB代表每个基数κ.
提议2.2。（2）.为A ⊆ 稀有，以下是等效的：
我)A是普遍拜尔。
二）F或者每辆紧凑型Hausdorff sp杰出的/一流的X每一个c(连续函数
f：X → 稀有，集f⁻¹(A)＝{х ∈ X│f(х) ∈ A}有道具一月
拜尔，即there存在开集O ⊆ X使得对称的
differencef⁻¹(A)△O是微薄的。
三)F或者每一个强迫的概念P存在tr英国电气公司(English Electric Compαny)T 和S 在ω×2│F
到这样的程度A＝p [T]=ωω\ p[S]和Vᴾ ⊨ p[T]=wω\ p[S].我们说
那是树吗他们见证了这一点A uB代表什么P.
下面是众所周知的w呃-
给定树的根基对于ZFC的所有模型都是绝对的普通人。
提议2.3。让T 和S 是trees开启。ω×κ，对于一些序数κ.
假如p[T]∩p[S]=∅.那么，在任何强制延伸中V[G]我们也吃吧p[T]V[G]∩p[S]V[G]=∅.
赞成的：T一个矛盾，假设P是一个强迫性的观念，p ∈ P
τ 是一个P-真实的名字，和p ⊩ τ ∈p[T]∩p[S].
让普通 ≺ H(λ)，λ 一个足够大的普通红衣主教，普 通可数之类的
那p，P，τ，T，S∈ 普通，让M 是···的过渡崩溃普 通，让p， P，τ，T
和 S是···的传递性崩溃p，P，τ，T 和S，分别为.因此，在M 我们有e
p ⊩ p τ ∈p[T]∩p[S].
让g是ˉ P-通用结束M随着T∈ g.所以，在M[g]，我们有
τ [g]∈p[T]∩p[S].
请注意p[T∩普通]⊆ p[T]和p[S∩普通]⊆ p[S].此外，ˉ T ≅ T∩普 通和
S ≅ S∩普通.因此，既然传递性崩溃是自然上的同一性数字，p[ˉ T]⊆ p [T]和p[ˉ S]⊆ p[S]，与事实相矛盾p[T]和
p[S]是不相交的。 □
推论2.4。让t，T' 和S 是trees开启ω×κ.对于一些序数κ.
假如p[T]＝p[T'] 和p[S]＝ωω\ p[T].如果在V[G]，p[S]ⱽ[G]＝ωω\p[T]ⱽ[G]，
那么p[T']ⱽ[G]⊆ p[T]ⱽ[G].
备注2.5。一般来说，在与推论相同的假设下
2.4，我们不能断定p[T']ⱽ[G]＝p[T]ⱽ[G]，例如，人们可以轻松构建树S和T在ω×ω到这样的程度p[S]是实数的集合坐v型车在的偶数元素上经常取值为0ω，以及p[T]是取v的一组实数经常在偶数元素上赋值0ω，以及到这样的程度S和T 将投影到具有这些定义的集合中(从而投影到补充)在所有强制扩展中。此外，如果{хα：α＜2ω}是
一组实数（在地面模型中），在
甚至元素ω，以及T' 树是由所有对（甲，乙)哪里b 是一个带有一些固定v的有限常数序列价值α＜2ω和α 是хα↾|b|，那么
8.琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PACL·拉森
p[T]＝p[T']在地面模型中，但是p[T]≠ p[T']在任何强制扩展中这增加了一个真正的。
根据推论2.4，如果A ⊆ 稀 有 是κ-模型中的uB普 通 见证了ZFC靠树T 和S，以及普通[G]是的扩展普 通 被一种强迫的观念基数小于κ，那么Aɢ：=p[T)普通[G]等于中的实数集普通[G]这些都在投影中（在普通[G])的一些树普 通 见证这一切A是κ-uB。因此，鉴于A ⊆稀有一个uB集，A 有一个轮唱的铝解释Aɢ 在任何强制扩展设置中V[G]的V，即：
Aɢ＝∪{p[T]ⱽ[G]│T ∈ V和A＝p[T]ⱽ}.
因此，如果P 是一个强迫性的概念A uB代表什么P在树木的见证下T，S，还有树T'，S'，那么在任何P-通用扩展V[G]，p[T]＝p[T']＝Aɢ.
备注2.6。从道具来看很明显位置2.2(iii)a组A ⊆ 稀 有 uB是iff吗
对于每个 工商管理硕士。Bɢ是Yᴮᴜ⊨uB”A₀ ·
定理2.7。([2])ɪ)每个分析集，因此每个coαn αnαlgtic
集，是普遍拜尔。
ii)每个Σ¹ ₂一组环αls每套都是uB iffх，х⋕ 存在。
2.2.A-封闭式模型。
现在让我们来定义的概念A-关闭d集，这也将是基金-ω-prov定义的心理能力关系⊢Ω
定义2.8。([12])给定一个uB集A ⊆ 稀有，一个及物∈-型号M关于(的片段)ZFC 是关闭的如果对于所有偏序集P∈M 等等V-通用过滤器G ⊆ P，
V[G] ⊨ M[G]∩Aɢ ∈ M[G]
（即，⊩p “M[G]∩ Aɢ ∈ M[G]”，哪里G是标准P-的名称通用滤波器)。
W面向对象的din给出了其他几种定义A-结束，但下一个
命题表明它们是等价的t.
提议2.9。给定uB集合A ⊆ 稀 有和一个传递模型M 关于ZE角，以下内容是等效的：
答M 是A-关门了。
b)F或者艾尔l无限γ ∈ M ∩在，对于铝IG ⊆ C壶(ω，γ)V-通用，
V[G] ⊨ M[G]∩ Aɢ ∈ M [G].
c)F或者艾尔l偏序集P∈M等等τ∈Mᴾ,{p∈P│p ⊩ⱽᴘ τ ∈ Aɢ}∈米(meter的缩写））
d)F或者艾尔l无限γ ∈ M ∩在还有艾尔lτ ∈ M科尔岛(ω，γ)
{p∈C壶(ω，γ)│p ⊩ⱽ 科思岛（ω，γ）τ ∈Aɢ}· ∈ 米（meter的缩写））
e)F或者艾尔l偏序集P ∈ M，
{（τ，p)│τ ∈M一个简单的P-一个真实的名字，p∈ P 和pᴘ ⊩ⱽτ ∈Aɢ}∈米（meter的缩写））
f）F或者艾尔l偏序集Pγ＝科尔岛(ω，γ).与γ ∈ M ∩On无限期，
{(τ，p)│τ ∈ M 一个简单的Pγ-，一个真实的名字，p∈ Pγ，和pᴘγ ⊩ⱽ τ∈ Aɢ}∈ M.
ω逻辑初级读本9
赞成的：注意到暗示(a)⇒(b)、(c) ⇒ (d)和(e)项(f)是立即。
（二）⇒ (d)：固定γ ∈ M ∩在.因为M ⊨ ZF角 和M 是可传递的，C壶(ω，γ)∈ M.让τ ∈ Mᶜ壶(ω，γ).在(b)中，存在p∈C壶(ω，γ)和σ₀ ∈ M科尔岛(ω，γ)到这样的程度B⊩ⱽ 科尔岛(ω，γ)M[G]∩Aɢ＝σ₀.因为C壶（ω，γ）
是同质的，我们可以替换σ₀带着山口l(ω，γ)-姓名σ在M 到这样的程度中的每个条件科尔岛(ω，γ)部队(在V)那个M[G]∩Aɢ＝σ.因此，对于每个q∈ 科尔岛(ω，γ).
q ⊩ⱽ科尔鸟(ω，γ)τ ∈ σ iffq ⊩ⱽ科尔岛(ω，γ)τ ∈ Aɢ.
因此，自从{C壶(ω，γ)，τ ，σ}⊆ M和M 绝对是可传递的，
{p ∈ P│p ⊩ⱽ科尔岛(ω，γ)τ ∈ Aɢ }＝{p ∈ P│p ⊩ⱽ科尔岛(ω，γ)τ ∈ σ}
＝{p ∈ P│p ⊩ᴹ科尔岛(ω，γ)τ ∈ σ}∈ M.
（四）⇒ (c)：修正偏序集P 在M 和τ ∈ Mᴾ.We ma你假设τ 是一个简单的
P-一个真实的名字。让=γ＝|P|ᴹ，让τ* 做简单的人P×C壶(ω，γ)-由字母定义的名称((，(p，q))∈ τ* 当且仅当( ()，p)在τ.然后自从P×C壶(ω，γ)具有同构于的稠密集山口l(ω，γ)，by
(d)，{(p，q)∈ P×C壶(ω，γ)│(p.q)P×⊩ⱽ科尔岛(ω，γ)τ* ∈ Aɢ} ∈米（meter的缩写））因为对所有人来
(p，q)∈ P×C壶(ω，γ)，(p，q)P×⊩ⱽ科尔岛(ω，γ)τ* ∈ Aɢ惟一可能是p⊩ⱽ ᴘ τ ∈ Aɢ.
(c)的结论如下。
（五）⇒（a）（类似地，对于(f)) ⇒ (b))：修理一个p偏移P ∈ M假设G ⊆ P是V-普通的。让
σ＝{(τ，p)│τ ∈ M 一个简单的P-一个真实的名字，p∈P和p ⊬ⱽ∈ Aɢ}.
通过(e),σ ∈ M.因此σ ∈ Mᴾ＝Vᴾ∩M 和我G[σ] ∈ M[G].
索赔。我G[σ]＝Aɢ∩M[G].
赞成索赔的：假设r ∈ 我ɢ[σ].让p∈G ⊆ P是这样的 那(r，p)∈ σ 和我ɢ[r]＝r。因此r是一个简单的P-名字在M 对于一个真实的和pᴘ ⊩ⱽτ ∈ Aɢ.
因此r∈Aɢ∩M[G].
假设现在r ∈ Aɢ ∩M[G].让p ∈ G和τ∈Mᴾ 如此p⊩ⱽᴘ r ∈ Aɢ.让τ 是 一个简单的P-真实in的名称M 到这样的程度p⊩ⱽᴘ τ＝r. □
然后(τ，p)∈σ 因此r ∈我ɢ[σ].
(四) ⇒ (f)：固定γ ∈ M ∩On.让P＝C壶(ω，γ)和P'＝科尔岛(ω，2 |γ|).让
〈τα│α＜2 |γ|〉∈ M列举所有简单的P-名字在M 为真的。让π：P×P' → P'做一个保序双射。定义一个简单的
P×P'-名字σ 如下所示：
σ＝{((我，j)，(p，q))│∃α＜2 |γ| 到这样的程度q(0)=(我以及)στ ，j) (，p)∈τα}
让σ”做简单的人P'-名字{ ˇ ((我，j），π(p，q)≬†我(，j)，(p，q))∈ σ}.
通过(d),X＝{q∈P'│q⊩ⱽᴘ' σ* ∈ Aɢ}∈M.
因此，
Z＝{(p，q)∈P×P'│π(p，q)∈X}＝{(p，q)∈P×P'│π(p.ᴘq)d ⊦*ⱽ∈ Aɢ}
＝{(p，q)∈P×P'│(p，q)P×P'⊩ⱽ σ ∈ A ɢ×ʜ}∈米 (meter的缩写))
10琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森
让
Y＝{(τ，p)│∃α＜2 |γ| 到这样的程度τ＝τα以及(p.(0，α))∈Ζ}.
因为Z∈M.Υ∈M.F或者τ ∈ Mᴾ，让τ be相应的P×P'-名字它只取决于第一个坐标。特别是，对于每一个α＜2 |γ|，
因为τα ∈ Mᴾ，对于所有(p，q)∈ P×P'-.
p⊩ⱽᴘ(我，j)∈ τα iff(p，q)P×P' ⊩ⱽ(我，j)∈ τα.
索赔。F或者每个α＜2 |γ|，对于所有人p∈P，(p.(0，α))P×P' ⊩ⱽσ＝τα.
赞成索赔的：让G＝G₁×G₂)⊆ P×P' 是V-通用，以便(p.（0，α））∈ G.我们c见鬼我ɢ[σ]＝我ɢ[τα]：如果(我，j)∈我ɢ[σ]，那么对于一些(r，s)∈G
((我，j).(r，s))∈ σ，s(0)＝β对一些人来说β＜2 |γ| 和pr(我⊩ⱽ， j)∈ τᵦ。因为(r，s)，(p，(0，α))∈ G.α＝β 以及(我，j)∈ 我ɢ[τα].
如果(我，j)∈ 我ɢ[τα]，让(r，s) ≤ (p.(0，α))在G 是这样(r，s)⊩ⱽσ P×P'
（我，j）∈ τα .然后r ⊩ⱽᴘ (我，j）∈ τα. 此外，由于s ≤ (0，α)，s(0)＝α.因此，( (我，j)，(r，(0，α)))∈ σ以及(r，(0，α))P×P' ⊩ⱽ (我，j）∈ σ。因为
(r，(0，α)) ≥ (r，s)，(r，(0，α))∈ G以及(我，j)∈ 我ɢ[σ]. □
此外，giv（构成动词）表示“使处于···状态”p ∈ P，以及τ 一个简单的P-名字在M.
(r，p)∈ Y iff∃α＜2 |γ| 到这样的程度τ＝τα 以及(p，(0，α)P×Pʳ ⊩ⱽσ ∈ Aɢ×ʜ
iff∃α＜2 |γ| 到这样的程度τ＝τα 和 p ⊩ⱽᴘ τα ∈ Aɢ
iffp ⊩ⱽᴘ τ ∈ Aɢ.
因此，
Y＝{(τ，p)│τ ∈ M 一个简单的P-一个真实的名字，p ∈ P和pᴘ⊩ⱽτ ∈ Aɢ}.
(f) ⇒ (五)：固定P∈M.让γ＝|P|ᴹ 和Pγ＝科尔岛(ω，γ).让X＝
{(r，p)│τ ∈ M一个简单的Pγ-一个真实的名字，p∈Pγ 和pγ ⊩ⱽτ ∈ Aɢ}.
由f).X∈M.在···里AM，让e是···的完全嵌入P 到···里面科尔岛（ω，γ）.
和以前一样，e 自然延伸到嵌入e*：Mᴾ → Mᶜ壶(ω，γ) 在M.
让
Y＝{(τ，p)│τ ∈ M 一个简单的P-一个真实的名字，p∈P和⋕ ⊩ⱽτ ∈ Aɢ}.
所以，
Y＝{(τ，p)│τ ∈ M 一个简单的P-一个真实的名字，p∈P 以及(e*(τ)，e(p))∈X}.
因此，Y∈M. □
F或者M 可数的概念A-关闭有一个更简单的公式，因为如下文命题2.11所示。
引理2.10。假设A ⊆ 稀 有是 uB和M是一个A-关闭中医 ZFC的。
让α t以至于M 是可数的并且A-关闭d英寸Vα.假设X ≺ Vα 是可数的{m，A，S，T}∈ X，在哪里T 和S 阿肯色州e tre我们见证了A是ω₁-uB，还有普 通 是及物c的折叠X. 然后，对于每一次强迫概念P∈M 每一个普通-通用滤波器g ⊆ P，M[g]∩A ∈ M [g].
注意：╞/符号是与╞（满足符）不同的符号，因为无法打出满足符(╞)的“/”划线符号，所以用此（╞/）“/”符号来代替，正规的（╞）“/”划线符号的代表作用！
举个例子：如[＝]符号，与划线的符号[≠]形成鲜明的区分，划“/”符号的形式表现！
津ICP备2022002164号-2 © 2016-2023 iHuaBen.com 版权保护声明 不良信息举报:jubao@ihuaben.com
京公网安备11010502036362号