泽尔麦的公理...
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策梅洛-弗伦克尔集合论的公理
公理
外延性
空集
配对
联盟
基础(或规律性)
分离图式
无穷
Powerset
选择
替换模式
替换的应用
历史
ZFC的一致性
传递模型
的最小传递模型
ZFC
�
-模型
ZFC
一致性层次结构
传递模型和强制
传递模型宇宙公理
每个型号的
ZFC包含的模型ZFC作为一个元素
不可数传递模型
具有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)是集合论者使用的标准公理集合。形式语言用来表示每个公理是一阶同等式的(=)在一起 用一个二元关系符号，∈，意在表示集合 会员资格。空集公理和分离模式是 被后来更具包容性的公理所取代。
公理
广泛性
集合由其元素唯一确定。
这是表达 形式上作为
∀х∀g(∀z(z∈х↔z∈g)→х=g).
的”→“可以替换为”↔“，但是←方向是逻辑的一个定理。可选地，公理 外延可以作为一个平等的定义，一个不同的 axiom可以用在它的位置：∀х∀g(∀α(α∈х↔α∈g)→∀b(х∈b↔g∈b))
意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。
空集
存在一些集合。事实上，有一个集合不包含成员。这是正式表达的
∃х∀g(g∉х).
这样一个х是唯一的，这个集合用∅.
配对
对于任意两组х和g（不一定截然不同）有一个进一步设置z其成员正是集合x和g.
∀x∀g∃z∀ω (ω∈ z ↔ (ω=xVω=g)).
这样一个z具有唯一的外延性，表示为 {х，g}.
联盟
对于任何设置х还有一组g他们的成员都是 成员中的成员х。也就是所有成员的联盟 存在一个集合。这被正式表达为
∀х∃g∀z( z ∈ g ↔ ∃ω(ω ∈ х ∧ z ∈ω)).
这样一个g是唯一的外延，写为g＝∪х.
基础(或规律性)
每个非空集合х有一个与分离的成员х，确保没有集合可以直接或间接地包含自身。这是表达 形式上作为
∀х ≠ ∅∃g∈x ¬∃z(z ∈ х ∧ z ∈ g).
相当于，由选择公理没有无限递减序列
· · · ∈ х₂ ∈ х₁ ∈ х₀.
分离图式
对于任何设置a和任何谓词Ρ(х)用ZFC语写的，布景{ х ∈ α：Ρ（х）}存在。更详细地说，给定任何
公式φ带有自由变量х₁，х₂，...，хₙ以下是一个公理：
∀α∀х₁∀х₂ . . .∀хₙ∃g∀z（z∈ g ↔（z ∈ α ∧ φ（х₁，х₂，. . .，хₙ，z）)
这样一个g，因外延性而独特，并被写成(对于固定集合α，х₁ . . .，хₙ)
g={z ∈ α：φ(х₁，х₂，. . .，хₙ，z）}.
到目前为止，我们还不能证明无限集合的存在。也就是（Vω，∈）是前五个公理和 无数分离的例子。的每个成员Vω是 事实上是有限的Vω是遗传有限的集合 集合。这基本上是的标准模型N.
无穷
有一个无限集合。这被正式表达为
∃х(∅ ∈ х ∧ ∀z(z ∈ х → z ∪ {z} ∈ х).
此时，我们可以定义ω，＋，和·在ω，得出···的基本事实ω和数学原理 感应开启ω（即，我们可以证明皮亚诺公理是 真实的〈ω，+，·〉).但是我们还不能证明不可数集合的存在性。
Powerset
对于任何设置х还有一组g成员都是 的子集х没有其他元素。g是powerset关于х。这 被正式表达为
∀х∃g∀z(z ∈ g ↔∀ω（ω ∈ z → ω ∈ х）)
[独一无二的这样g被写成g=P(х).]
定义有序对（α，b）存在；成为{{α}，{α，b}}。A关系是有序对的集合，函数是关系f到这样的程度(α，b)∈ f和(α，c)∈ f暗指b=c.
选择
主要文章：选择公理。
这个公理有许多表述。这是历史上最多的有争议的公理ZFC.
∀х[∀g(g ∈ х → g ≠ ∅)→∃f(dom f ＝х ∧ ∀α ∈ х(f(α)∈ α）)]
由上述公理产生的理论被明确地闸述为 策梅洛（1908年）。大多数经典数学都可以在这里进行 理论，但令人惊讶的是，没有序数大于（ω · 2）可以被证明存在于这个理论(至少策梅洛，谁 简直忽略了Fraenkel等人发现的下一个公理）。
替换模式
如果α是一个集合和所有х ∈ α有一种独特的y到这
样的程度（х，g）满足给定的属性，则此类gs是 一套。更详细地说，给出一个公式
φ（х₁，. . .，хₙ，х，g）以下是替换模式的一个实例：
forαllαforαllх....._1dot s forαllх_nbig\[dig(forαllхinαeхists!yuαrр]
替换的应用
替换公理证明了每个良序集都是 同构于(唯一的)序数。
证明。这足以表明，每一个世界贸易组织〈L，＜˪〉每一l ∈L，L＜ₗ ={m∈L：m＜˪ ᴵ}≅（唯一的）序数f(l)。固定l∈L，l最不反例。然后f定义于L＜ₗ并且由 替换，ran（f ⨡ Li）是一组序数
A。根据序数和顺序的基本事实，很容易看出A是一个序数α。如果l是的继任者L工然后
L＜ₗ ≅ α+1。如果是一个限制L，那么
L＜ₗ ≅ α.□
∀x∃α(x ∈ Vα).
对于所有序数α，ℵα存在（即对于每个α至少有
α +1——很多无限红雀）。
此外，替换公理也证明了分离，进而是空集公理。
此外，沿用幂集公理证明了配对公理。
历史
有待扩大。
ZFC的一致性
断言Con(ZFC)这个理论断言ZFC是一致的。这是一个复杂的断言Π⁰₁在算术中，因为它断言每个自然的 数不是矛盾证明的哥德尔码ZFC。因为哥德尔完备性定理，断言 相当于断言该理论ZFC有一个模型〈M，∈〉。一个这样的模型是亨金模型，内置于任何完全一致的Henkin的语法过程中 理论延伸ZFC。一般来说，人们不能假定∈是实际的集合成员关系，因为这将使 型号a的传递模型ZFC，它的存在是一个比Con(ZFC).
哥德尔不完全性定理意味着如果ZFC是 一致，那就不能证明Con(ZFC)，所以 这个公理的加法严格强于ZFC一个人。
该表达式Con²(ZFC）表示断言Con(ZFC+Con(ZFC))，并迭代这个更一般地说，人们可以考虑这样的断言Con α(ZFC)每当α本身就是 可表达的。
传递模型
ZFC的传递模型是传递集M，使得结构〈M，∈〉满足集合论的所有ZFC公理。这样一个模型的存在严格强于Con（ZFC），强于迭代一致性层次，但弱于世俗基数的存在，即Vκ是ZFC模型的基数 κ，其中Vk是ZFC的模型，因此也弱于不可访问基数的存在。不是所有ZFC的传递模型都具有Vκ形式，因为如果存在ZFC的任何传递模型，那么通过Lowenheim-Skolem定理和Mostowski坍缩引理，存在这样的可数模型，并且这些模型从不具有形式Vκ。
然而，ZFC的每个传递模型M都提供了一个集合论论坛，人们可以在其中观察几乎所有的经典数学。在这个意义上，这样的模型是普通集合论结构无法访问或无法访问的。因此，ZFC的传递模型的存在性可以被视为一个大的基本公理：它表达了一个大性的概念，并且这样的模型的存在在ZFC中是不可证明的，并且具有严格超过ZFC的一致性强度。
ZFC的最小传递模型
如果有任何传递模型M关于ZFC，那么Lᴹ，的计算出的可构造宇宙M也是的传递模型ZFC事实上，它有这样的形式Lη ，在哪里η=ht(M)是的高度M。这最小传递的 的模型ZFC是模型Lη，在
哪里η是 最小的，这是一个模型ZFC。这个论点只是 给定表明，最小传递模型是所有其他模型的子集的传递模型ZFC.
它的高度小于最小的稳定的序数虽然稳定序数的存在在ZFC和 传递模型的存在是 不是。（马多尔，2017年)
ω-模型ZFC
一；一个ω-型号关于ZFC是· · ·的模型ZFC谁的 自然数的集合与实际的自然数是同构的 数字。换句话说，一个ω-模型是没有 非标准自然数，尽管它可能
有非标准序数。(更一般地，对于任何序数α，安α-模型有 至少有根据的部分α 。)的每个传递模型ZFC是一个ω-模型，但后一个概念是严格的 更弱。
一致性层次结构
的存在ω-的型号ZFC并且暗示Con(ZFC)当然，还有Con(ZFC＋Con(ZFC))和 迭代一致性层次结构的很大一部分。这简直是 因为如果M╞ ZFC并且具有标准的自然数，然后M同意Con(ZFC)持有，因为它有相同的 就像我们在环境背景下做的那样。因此，我们认为M满足ZFC+Con(ZFC)因此我们相信
Con(ZFC+Con(ZFC))。它再次得出结论M同意这一点 一致性断言，所以我们现在相信
Con³(ZFC)。模型M因此同意，所以我们 认为
Con⁴(ZFC)以此类推，只要 我们能够以这样的方式描述顺序迭代M正确地解释它们。
的每个有限片段ZFC允许许多传递 模型，作为反射定理.
传递模型和强制
集合论的可数传递模型在历史上被用作 形式化的便捷方式强制（force的现在分词形式）。这样的模型M使强迫理论变得方便，因为一个人可以 很容易证明对于每一个偏序Ρ在M，有一；一个M-通用过滤器 G ⊂ Ρ，只需枚举的密集子集Ρ在M以可数的顺序〈 Dₙ│n＜ω 〉，并构建一个降序序列р₀ ≥ р₁ ≥ р₂ ≥ · · ·，与рₙ ∈ Dₙ 。该过滤器G由序列生成的是M -普通的。
出于一致性证明的目的，这种形式化的方式 效果很好。
展示Con(ZFC) → Con(ZFC＋φ)，修复
一个有限的片段ZFC并且与适当的可数传递模型一起工作 大碎片，产生φ中包含所需的片段 迫使它延伸。
传递模型宇宙公理
这传递模型宇宙公理断言每个集合都是 的传递模型的元素ZFC。这个公理使一个 比更强的声明费夫曼 理论，因为它被断言为单个一阶索赔，但弱于宇宙公理，声称宇宙有这样的形式Vκ为 难以接近的红衣主教κ.
传递模型宇审公理有时在 非的背景理论ZFC，而是的ZFC山口，省略了幂集公理，以及断言 每个集合都是可数的。这样的企业相当于采用 后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是 作为背景元理论来研究多元宇宙透视，调查各种实际的集合论 宇宙，完整的传递模型ZFC，涉及一个另一个。
每个型号的ZFC包含的模型ZFC作为一个
元素
每个型号M关于ZFC有一个元素N，它认为 集合论语言中的一阶结构 的模型ZFC从外部看M。这一点在 的情况下M是一个ω-型号关于ZFC，因为在这种情况下M同意ZFC是 一致，因此可以建立一个亨金模型ZFC。在 · · · 里 剩下的一个案例，M有非标准的自然数。由反射定理应用于M，我们知道Σₙ的片段ZFC在模型中是正确的VᵦᴹM，对于每一个标准的自然 数字n。因为M无法确定其标准切割，因此 肯定有一些不标准n为了什么M有些人认为Vᵦᴹ满足（非标准）Σₙ的片段ZFC。因为n是非标准的，这包括完整的标准 的理论ZFC，根据需要。
前一段提到的事实有时会被一些刚开始的集合论者发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与可以有模型的事实相矛盾。
ZFC+￢Con(ZFC)。矛盾解决了，然而，通过意识到虽然这个模型N里面的M实际上是 完整的模型ZFC，模型M不需要同意这是一个 的模型ZFC，在这种情况下M有不标准的自然 数以及由此而来的非标准长度公理ZFC.
不可数传递模型
回想一下，罗文海姆-斯科莱姆定理和莫斯托夫斯基折叠引理表明 如果有一个ZFC的传递模型(或其他集合论)，那么 有一个可数的这样的模型。这意味着 L每个不可数的 传递模型是ZFC+的模V＝L+有
可数 ZFC+的传递模型V＝L还有可数的传递模型这个理论的高度肯定比最小模型高。同样，也有主张任何数字的理论传递模型 不同高度的可数传递模型ω₁（其含义取决于型号：通常ω₁ᴹ¹ ≠ ω₁ᴹ²).此外，还有传递模型 主张存在的理论α的可数传递模型ZFC+有ω₁ ZFC的可数传递模型 不同的高度不同的高度等等。因此，如果有一个 不可数传递模型，那么有“真的非常多”(在“etc”暗示的非正式意思。)可数传递的 模型，它们是无限的ω₁ (否则他们可以 没有ω₁ 高度不同）。
假设在V我们有一个基数高度的传递模型κ。我们可以把每一个不可数的继任者变成红衣主教λ⁺ ≤ κ到· · ·里面ω₁通过强迫 (在V[G]).在···里V[G]，传递模型在以下方面是无界的ω₁ⱽ[ᴳ]（=（λ⁺）ⱽ ≤ κ）.a的可构造宇宙 传递模型(Lₕₜ₍ᴍ₎）是ZFC+的典范V＝L而且它 是的一个元素L这是常见的V和V[G]。所以模型ZFC+V=L在...方面不受限制(λ⁺)ⱽ在V。他们中的一些人 基数的高度λ而且他们“非常多”。因此，如果存在基数高度的传递模型κ，那么就有“非常多”的高度传递模型 所有基数λ＜κ.
特别是，ZFC的模型 (和ZFC+ZFC的模型)是无限的等等。)是无限的Vκ为世间的 κ ，就像在Vκ为难见到的 κ有世俗的，世俗的，超世俗的等等。红衣主教。
参考
1.马多尔博士（2017）。普通人的动物园。
http://www.madore.org/·大卫/数学/序数-动物园.pdf
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