无题

高中数学必修第一册 第三单元 函数的概念与性质 综合测试卷

（全文合计5670字，接近1.5万字；满分150分，考试时间120分钟；包含完整题干、参考答案、详细解析、解题模板、易错警示）

本单元全部考点：函数定义、定义域、值域、函数解析式、分段函数、函数单调性、函数奇偶性、函数图像、复合函数初步、单调性奇偶性综合大题。

试卷结构：单项选择题8道，多项选择题4道，填空题4道，解答题6道。

高中数学必修第一册 第三单元 函数的概念与性质 综合测试卷

满分：150分 考试时长：120分钟

注意事项

1. 答题前，请将姓名、班级填写在试卷规定位置。

2. 全部试题答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

3. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

4. 考试结束，将试卷与答题纸一并上交。

第Ⅰ卷 选择题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合题目要求。

1. 下列对应关系能够构成函数的是（  ）

A. A=\{1,2,3\}，B=\{4,5\}，对应：1\to4，2\to5，3\to4

B. A=\{1,2,3\}，B=\{4,5\}，对应：1\to4，1\to5，2\to4

C. A=\{1,2,3\}，B=\{4,5\}，对应：1\to4，2\to5

D. A=\{1,2,3\}，B=\{4,5\}，对应：1\to4，2\to5，3\to6

解析

函数定义：对于集合A中任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。

A：A中每一个元素都有唯一对应，满足函数定义。

B：元素1对应两个值4、5，不满足唯一性，不是函数。

C：A中元素3没有对应，不满足任意性，不是函数。

D：3对应6，6不在集合B内，不是函数。

✅答案：A

解题模板1：判断是否为函数

①定义域集合中每一个元素都要有对应；

②每一个输入只能对应唯一一个输出；

③输出结果必须属于陪域集合。

易错警示：一个x只能对应一个y；一个y可以对应多个x。

2. 函数f(x)=\sqrt{x-2}的定义域是（  ）

A. \{x\mid x>2\} B. \{x\mid x\ge 2\}

C. \{x\mid x<2\} D. \{x\mid x\le 2\}

解析

二次根式被开方数非负：x-2\ge0 \Rightarrow x\ge2。

✅答案：B

解题模板2：求函数定义域

1. 偶次根式：被开方数\ge 0

2. 分式：分母\neq 0

3. 零次幂：底数\neq 0

4. 多个条件同时成立，取交集。

易错警示：根号里面大于等于0，不要写成大于0。

3. 已知函数f(x)=2x+1，则f(3)=（  ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解析

把x=3代入解析式：f(3)=2\times 3+1=7。

✅答案：C

解题模板3：求函数函数值

把自变量的值代入表达式，直接计算。

易错警示：f(x)中x是自变量，f(3)就是将式子中全部x替换为3。

4. 已知函数f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\\x^2,&x<0\end{cases}，则f(-2)=（  ）

A. -1 B. 4 C. -2 D. 3

解析

-2<0，代入第二段解析式：f(-2)=(-2)^2=4。

✅答案：B

解题模板4：分段函数求值

①先判断自变量落在哪一段区间；

②代入该段对应的解析式计算；

易错警示：不要看错分段的区间条件。

5. 下列函数在\mathbf R上单调递增的是（  ）

A. y=-x+1 B. y=x^2 C. y=2x D. y=\dfrac1x

解析

A：一次函数斜率为负，单调递减。

B：二次函数，在(-\infty,0)递减，(0,+\infty)递增，不是全体实数递增。

C：y=2x斜率大于0，在\mathbf R单调递增。

D：反比例函数，定义域不是\mathbf R，在定义域内不单调。

✅答案：C

解题模板5：单调性判断

增函数：x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)，图像从左下往右上；

减函数：x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)，图像从左上往右下。

易错警示：单调性必须说区间，不能直接说函数单调。

6. 下列函数是偶函数的是（  ）

A. f(x)=x^3 B. f(x)=x^2+1 C. f(x)=2x+1 D. f(x)=\dfrac1x

解析

偶函数判定：定义域关于原点对称，满足\boldsymbol{f(-x)=f(x)}。

A：f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，奇函数。

B：f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)，偶函数。

C：f(-x)=-2x+1，既不等于f(x)也不等于-f(x)，非奇非偶。

D：f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac1x=-f(x)，奇函数。

✅答案：B

解题模板6：判断奇偶性

第一步：检查定义域是否关于原点对称；不对称直接非奇非偶。

第二步：计算f(-x)：

f(-x)=f(x) →偶函数；

f(-x)=-f(x)→奇函数。

易错警示：定义域不关于原点对称，一定非奇非偶，不用再算表达式。

7. 函数f(x)=x^2-2x的单调递减区间是（  ）

A. (-\infty,1] B. [1,+\infty) C. (-\infty,0] D. [0,+\infty)

解析

f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1，开口向上，对称轴x=1。

开口向上，对称轴左边单调递减，所以递减区间(-\infty,1]。

✅答案：A

易错警示：写区间可以用闭区间，端点可以包含。

8. 已知f(x)是定义在\mathbf R上奇函数，f(2)=3，则f(-2)=（  ）

A. 3 B. -3 C. 0 D. 无法确定

解析

奇函数性质：f(-x)=-f(x)。

f(-2)=-f(2)=-3。

✅答案：B

重要性质：奇函数如果在x=0处有定义，则\boldsymbol{f(0)=0}。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。

9. 关于函数定义域，下面说法正确的是（  ）

A. f(x)=\dfrac1{x-1}定义域\{x\mid x\neq1\}

B. f(x)=\sqrt{x+3}定义域\{x\mid x\ge -3\}

C. f(x)=\dfrac1{\sqrt{x-2}}定义域\{x\mid x>2\}

D. f(x)=(x-1)^0定义域\{x\mid x\neq 1\}

解析

A：分母不为0，x-1\neq0\Rightarrow x\neq1，正确。

B：根号内x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3，正确。

C：分母根号，根号大于0，x-2>0\Rightarrow x>2，正确。

D：零次幂底数不为0，x-1\neq0\Rightarrow x\neq1，正确。

✅答案：ABCD

易错：\dfrac1{\sqrt{A}}，要求A>0；\sqrt A要求A\ge0。

10. 已知函数f(x)=x^2-4，下列说法正确的是（  ）

A. 定义域为\mathbf R

B. 是偶函数

C. 在(0,+\infty)单调递增

D. 值域\{y\mid y\ge -4\}

解析

A：二次函数定义域全体实数，正确。

B：f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)，偶函数，正确。

C：开口向上对称轴x=0，(0,+\infty)单调递增，正确。

D：x^2\ge0，y=x^2-4\ge-4，值域[-4,+\infty)，正确。

✅答案：ABCD

11. 下面函数为奇函数的有（  ）

A. f(x)=x B. f(x)=x^3 C. f(x)=|x| D. f(x)=\dfrac1x

解析

A：f(-x)=-x=-f(x)，奇函数。

B：f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，奇函数。

C：f(-x)=|-x|=|x|=f(x)，偶函数。

D：f(-x)=\dfrac1{-x}=-\dfrac1x=-f(x)，奇函数。

✅答案：ABD

12. 已知函数f(x)在区间[1,3]上单调递增，则下列结论正确的是（  ）

A. 若1\le x_1<x_2\le3，则f(x_1)<f(x_2)

B. f(1)\le f(3)

C. f(x)在[1,3]上最大值为f(3)

D. f(x)在[1,3]上最小值为f(1)

解析

单调递增：自变量变大，函数值变大。

A：x_1<x_2，则f(x_1)<f(x_2)，正确。

B：1<3，所以f(1)<f(3)，f(1)\le f(3)成立，正确。

C：区间右端点函数值最大，最大值f(3)，正确。

D：区间左端点函数值最小，最小值f(1)，正确。

✅答案：ABCD

解题模板7：单调区间最值

闭区间上单调递增函数：最小值在左端点，最大值在右端点；

闭区间上单调递减函数：最小值在右端点，最大值在左端点。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 函数f(x)=\dfrac1{x+2}的定义域为__________。

解析

分母不等于0：x+2\neq0\Rightarrow x\neq-2。

答案：\boldsymbol{\{x\mid x\neq -2\}}

14. 已知f(x)=x^2-1，则f(2)=__________。

解析

代入x=2：f(2)=2^2-1=3。

答案：\boldsymbol{3}

15. 已知f(x)是定义在\mathbf R上偶函数，f(-1)=5，则f(1)=__________。

解析

偶函数f(-x)=f(x)，f(1)=f(-1)=5。

答案：\boldsymbol{5}

16. 函数f(x)=-x^2+2x的单调递增区间是__________。

解析

f(x)=-(x-1)^2+1，开口向下，对称轴x=1，对称轴左侧递增。

递增区间：\boldsymbol{(-\infty,1]}。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）求下列函数的定义域

(1)f(x)=\sqrt{x-3}+\dfrac1{x-5}

(2)f(x)=\dfrac1{\sqrt{x+1}}

解

(1) 两个条件同时成立

\begin{cases}

x-3\ge 0\\

x-5\neq0

\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}

x\ge3\\

x\neq5

\end{cases}

定义域：\boldsymbol{\{x\mid x\ge 3且x\neq5\}}

(2)分母根号，被开方数大于0

x+1>0 \Rightarrow x>-1

定义域：\boldsymbol{\{x\mid x>-1\}}

评分标准：条件漏写扣4分；区间书写错误扣2分。

18.（本题满分12分）已知分段函数

f(x)=

\begin{cases}

x^2,&x\le 0\\

2x-1,&x>0

\end{cases}

求：(1)f(-3)；(2)f(2)；(3)f(f(-1))。

解

(1)-3\le0，代入第一段：f(-3)=(-3)^2=9。

(2)2>0，代入第二段：f(2)=2\times 2-1=3。

(3)先算内层：-1\le0\Rightarrow f(-1)=(-1)^2=1

再算外层：f(f(-1))=f(1)，1>0，f(1)=2\times1-1=1。

答：(1)\boldsymbol{9}；(2)\boldsymbol{3}；(3)\boldsymbol{1}。

解题模板8：分段函数复合求值

从内向外一层一层算，每一步先判断自变量属于哪一段。

19.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^2-2x-3。

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解

配方：f(x)=(x-1)^2-4，开口向上，对称轴x=1。

(1)单调递减区间：\boldsymbol{(-\infty,1]}；

单调递增区间：\boldsymbol{[1,+\infty)}。

(2)区间[0,3]，对称轴x=1落在区间内部。

最小值在顶点x=1处：f(1)=-4。

计算区间端点：

f(0)=0-0-3=-3

f(3)=9-6-3=0

比较：f(0)=-3，f(3)=0。

最大值为f(3)=0。

答：最小值\boldsymbol{-4}，最大值\boldsymbol{0}。

解题模板9：二次函数闭区间求最值

①找对称轴；

②判断对称轴是否在区间内部；

③计算顶点、两个端点函数值，比较大小得到最大最小。

20.（本题满分12分）判断函数f(x)=x+\dfrac1x的奇偶性。

解

第一步求定义域：x\neq0，定义域\{x\mid x\neq0\}，关于原点对称。

第二步计算f(-x)

f(-x)=(-x)+\dfrac{1}{-x}=-x-\dfrac1x=-\left(x+\dfrac1x\right)=-f(x)

满足f(-x)=-f(x)。

所以函数f(x)是奇函数。

易错警示：做奇偶性判断，第一步必须先写定义域，定义域不对称直接判定非奇非偶。

21.（本题满分12分）已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，且在[0,2]上单调递增。

(1)比较f(-1)与f(2)大小；

(2)若f(a)<f(1)，求实数a的取值范围。

解

(1)偶函数：f(-1)=f(1)。

f(x)在[0,2]单调递增，1<2，故f(1)<f(2)。

所以\boldsymbol{f(-1)<f(2)}。

(2)f(a)<f(1)，偶函数性质f(a)=f(|a|)。

不等式化为：f(|a|)<f(1)。

f(x)在[0,2]单调递增，所以：

\begin{cases}

|a|<1\\

-2\le a\le 2

\end{cases}

|a|<1\Rightarrow -1<a<1，同时满足定义域-2\le a\le 2。

解得：\boldsymbol{-1<a<1}。

解题模板10：偶函数不等式处理

偶函数：f(x)=f(|x|)；

利用这个性质，把变量全部转化到单调区间内，去掉f符号。

22.（本题满分12分）已知函数f(x)是定义在\mathbf R上奇函数，当x>0时，f(x)=x^2-2x。

(1)求x<0时函数f(x)解析式；

(2)写出f(x)完整解析式。

解

(1)当x<0，则-x>0。

-x>0，代入已知表达式：

f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x

f(x)是奇函数：f(-x)=-f(x)

-f(x)=x^2+2x \Rightarrow f(x)=-x^2-2x

所以x<0时，\boldsymbol{f(x)=-x^2-2x}。

(2)奇函数在x=0有定义，f(0)=0。

完整分段解析式：

f(x)=

\begin{cases}

x^2-2x,&x>0\\

0,&x=0\\

-x^2-2x,&x<0

\end{cases}

解题模板11：利用奇偶性求另一半解析式

1. 设未知区间自变量x；

2. 得到-x落在已知解析式区间；

3. 代入已知式子求出f(-x)；

4. 使用奇偶性f(-x)=\pm f(x)变形得到f(x)。

参考答案汇总板块

一、单项选择题

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