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高中必修一 第六章 函数的应用

第六章　函数的应用

6.1　函数与方程

6.1.1　函数的零点

知识点1：函数零点的定义

对于函数 y=f(x)，我们把使 \boldsymbol{f(x)=0} 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点。

核心等价关系（考试必考，一定要背熟）

\boldsymbol{f(x)=0\text{有实数解} \iff \text{函数}y=f(x)\text{有零点} \iff \text{函数图像与}x\text{轴有交点}}

通俗理解：

零点是x的取值，是一个数，不是坐标点(x,0)。很多同学做题容易写错，把零点写成(2,0)，这是典型扣分点。

题目问零点，直接写数字；问图像与x轴交点坐标，才写括号形式。

例题1‑1

求函数 f(x)=x^2‑x‑6 的零点。

解：

令 f(x)=0

x^2‑x‑6=0

因式分解：

(x‑3)(x+2)=0

解得：x_1=3,\ x_2=-2

∴函数的零点为 \boldsymbol{3} 和 \boldsymbol{-2}。

解题模板1：求函数零点通用步骤

1. 令 f(x)=0；

2. 解方程：二次优先因式分解，不能分解就套用求根公式；一次方程直接移项；

3. 方程的实数根就是函数零点；无实数根 ⇒ 函数无零点。

易错提醒

1. 零点是实数，不是点坐标；

2. 只有实数根才算零点，虚根不作为函数零点；

3. 分段函数求零点：每一段分别令f(x)=0，解出来之后必须检验x是否落在本段定义域之内，不在定义域直接舍去。

例题1‑2 分段函数零点

f(x)=

\begin{cases}

x+1,&x\ge 0\\

x^2‑4,&x<0

\end{cases}

求函数零点。

解：

①当 x\ge0 时，令 x+1=0\Rightarrow x=-1。

检验：-1\ge0不成立，舍去。

②当 x<0 时，令 x^2‑4=0\Rightarrow x=\pm2。

条件x<0，取 x=-2；x=2舍去。

综上：函数零点 \boldsymbol{x=-2}。

模板口诀：分段求零点，解完看区间，不在区间直接删掉。

6.1.2　零点存在定理（高频考点，选择填空大题都考）

零点存在定理

如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续不断，并且有 \boldsymbol{f(a)\cdot f(b)<0}，

那么，函数 y=f(x) 在区间 \boldsymbol{(a,b)} 内至少存在一个零点。

关键词拆解：

1. 连续不断：图像不能断开。高中题目里，多项式、指数对数函数都是连续；分段函数要注意断点；

2. f(a)\cdot f(b)<0：两个端点函数值一正、一负；

3. 结论：至少有一个零点，不等于只有一个！

⚠️定理反过来不成立！

- 若区间内有零点，不一定满足两端点一正一负。

例子：f(x)=x^2，零点x=0，取区间[‑1,1]，f(-1)=1,f(1)=1，乘积大于0。

逻辑总结四条（选择题排除神器）

1. 连续，f(a)f(b)<0 ⇒ (a,b)至少1个零点；

2. 连续，f(a)f(b)>0 ⇒ 无法判断区间有没有零点，可能有，也可能没有；

3. 有零点 ⇏ 端点乘积小于0；

4. 想要断定恰好只有一个零点：零点存在定理 \boldsymbol{+} 函数在区间上单调（单调递增或者单调递减）。

例题2‑1

函数 f(x)=\ln x + 2x‑6，判断在区间 (2,3) 内是否存在零点。

解：

f(x)=\ln x+2x‑6，定义域 x>0，在(0,+\infty)图像连续。

\begin{aligned}

f(2)&=\ln 2 +4‑6=\ln2‑2<0\\

f(3)&=\ln 3 +6‑6=\ln3>0

\end{aligned}

f(2)\cdot f(3)<0

根据零点存在定理：\boldsymbol{f(x)} 在 \boldsymbol{(2,3)} 内至少存在一个零点。

又∵y=\ln x递增，y=2x‑6递增；两个增函数相加仍然单调递增。

函数在(2,3)单调递增。

∴区间 (2,3)内有且仅有一个零点。

解题模板2：判断区间零点个数

1. 看函数是否连续；

2. 计算区间两端的函数值，判断正负；

3. f(a)f(b)<0：至少一个零点；

4. 判断单调性：单调 ⇒ 恰好一个零点；不单调，零点个数不确定，可能多个。

易错题训练

命题：若函数在(a,b)有零点，则一定有 f(a)f(b)<0。（ ）

答案：×

解析：可以零点在内部，两端同为正或者同为负。

6.2　二分法求方程的近似解

知识点：二分法适用条件

1. 函数 y=f(x) 在 [a,b] 上连续不断；

2. f(a)\cdot f(b)<0；

3. 目标：无限逼近零点，求出满足精确度要求的近似解。

精确度\varepsilon含义：当区间左右端点之差小于\varepsilon，也就是 b‑a<\varepsilon，区间内任意取值都可以当作方程近似解。

二分法操作步骤模板

给定精度\varepsilon

①确定初始区间 [a_0,b_0]，验证 f(a_0)f(b_0)<0；

②求中点 \boldsymbol{c=\dfrac{a+b}{2}}，计算 f(c)；

③三种情况：

- 如果 f(c)=0，c就是精确零点；停止计算。

- 如果 f(a)\cdot f(c)<0：零点落在 (a,c)，令新区间 b=c；

- 如果 f(c)\cdot f(b)<0：零点落在 (c,b)，令新区间 a=c；

④检验 b‑a<\varepsilon，满足条件，输出近似解；不满足，回到第二步继续取中点。

例题3‑1

已知 f(x)=\ln x+2x‑6，零点在(2,3)，精确度0.1，用二分法求近似零点。

初始区间 [2,3]，区间长度 3‑2=1>0.1

第1次二分：中点2.5

f(2.5)=\ln2.5+5‑6=\ln2.5‑1

\ln e=1，2.5<e\Rightarrow \ln2.5<1\Rightarrow f(2.5)<0

f(2.5)\cdot f(3)<0，零点(2.5,3)，区间长0.5>0.1

第2次二分：中点2.75

计算f(2.75)>0，

f(2.5)f(2.75)<0，零点(2.5,2.75)，区间长0.25>0.1

第3次二分：中点2.625

f(2.625)>0，零点落在(2.5,2.625)，区间长0.125>0.1

第4次二分：中点2.5625

新区间变为(2.5, 2.5625)，区间长度 2.5625‑2.5=0.0625<0.1

达到精确度0.1，区间任意数值都可以作为近似零点，可取近似解2.5。

高频考点选择题套路

问需要二分多少次：

初始区间长度 L_0，每二分一次，区间长度除以2。

n次二分之后区间长度：\boldsymbol{L=\dfrac{L_0}{2^n}}

要求：\dfrac{L_0}{2^n}<\varepsilon，解出最小整数n。

例题：初始区间[2,3]，精度0.1，L_0=1

\dfrac{1}{2^n}<0.1 \Rightarrow 2^n>10

2^3=8<10,\ 2^4=16>10，所以至少二分4次。

模板口诀：二分看精度，长度对半分；2的n次方大于初始长除以精度。

⚠️注意：二分法不能处理重根。

例如f(x)=(x‑2)^2，零点x=2，左右两端函数值全部大于0，f(a)f(b)>0，不能使用二分法。

6.3　函数模型的应用

6.3.1　四类常见函数模型

1. 一次函数模型：y=kx+b\quad(k\neq 0)

匀速变化，增长量固定不变。

2. 二次函数模型：y=ax^2+bx+c\quad(a\neq0)

先增后减，或者先减后增，存在最大值、最小值。经常用于面积、利润问题。

3. 指数增长模型：y=N\cdot a^x\quad(a>1)

爆炸式增长，增长速度越来越快。现实例子：细胞分裂、复利计息。

4. 对数增长模型：y=m\log_a x +n\quad(a>1)

一直上涨，但是涨速越来越缓慢。

增长速度对比（x足够大的时候）

\boldsymbol{\text{指数函数}\gg\text{二次函数}\gg\text{一次函数}\gg\text{对数函数}}

选择题经常考：给图像，判断谁增长最快；记住这个顺序。

例题4‑1 利润二次模型

某商品每件成本10元，售价x元，可以卖出 (50‑x) 件，求利润函数，求最大利润。

单件利润 = 售价‑成本 = x‑10

总利润 y=\text{单件利润}\times\text{销售量}

\begin{aligned}

y&=(x‑10)(50‑x)\\

&=-x^2+60x‑500

\end{aligned}

二次函数，开口向下，a=-1<0。

对称轴公式：

x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{60}{2\times(-1)}=30

x=30时，取得最大值

y_{\text{max}}=-(30)^2+60\times30‑500 = 400

答：定价30元，最大利润400元。

应用题通用解题模板

1. 审题，分清自变量x和因变量y；

2. 根据文字关系列出函数解析式；

3. 写出实际问题的定义域！（应用题超级容易丢分）

价格大于成本，销售量大于0；时间不能负数。

4. 利用函数单调性、对称轴、指数对数性质求最值；

5. 回到题目，写出文字回答。

易错点提醒

实际应用题，求出的x必须符合现实意义。

比如人数、商品件数只能是非负整数；价格不能是负数。算出小数人数的时候要取就近整数验算。

6.3.2　指数模型（复利）

复利：利滚利，每一期的利息计入下一期的本金。

本金P，每期利率r，经过x期之后本利和：

\boldsymbol{y=P(1+r)^x}

例题5‑1：本金1000元，年利率2%，按年复利，5年后本利合计多少？

y=1000(1+0.02)^5

区分：单利（利息不再生息）：y=P(1+rx)

单利是一次函数；复利是指数函数。

6.3.3　拟合问题（给表格数据选模型）

做题判断方法：

1. 相邻自变量差相等：

- y的差值固定不变 → 一次函数

- y的差值逐步变大，差的差值固定不变 → 二次函数

- y的比值固定不变 → 指数函数

考试套路：表格给几组数据，从一次、二次、指数里面选出最合适模型。

6.4　本章综合大题演练

综合题1

已知函数 f(x)=‑x^2+2|x|+3。

(1)求函数零点；

(2)判断方程 ‑x^2+2|x|+3‑k=0 有四个不同实数根，求k取值范围。

解：

(1)令 f(x)=0

-x^2+2|x|+3=0

令 t=|x|\ge0，式子改写：

-t^2+2t+3=0 \Rightarrow t^2‑2t‑3=0

(t‑3)(t+1)=0

t\ge0，舍去t=-1，得 t=3\Rightarrow |x|=3。

零点：\boldsymbol{x=3}，\boldsymbol{x=-3}。

(2)方程四个不同实根等价：y=-x^2+2|x|+3 图像与直线 y=k 四个交点。

函数是偶函数，图像关于y轴对称。

x>0时：f(x)=‑x^2+2x+3 = -(x‑1)^2+4。

x>0，x=1取最大值4；x=0时，f(0)=3。

画图分析：

\boldsymbol{3<k<4}

模板：含绝对值方程根的个数问题，优先换元t=|x|，或者图像法，看水平线和曲线交点数量。

综合题2

函数 f(x)=2^x +x‑4，求证函数在R单调递增，并判断零点所在区间。

证明单调性：

任取 x_1<x_2

y=2^x在R递增，y=x‑4递增；两个增函数相加仍然单调递增。

\begin{aligned}

f(1)&=2^1+1‑4 =‑1<0\\

f(2)&=2^2+2‑4 =2>0

\end{aligned}

f(1)f(2)<0

又函数单调递增，∴f(x)有唯一零点落在区间 \boldsymbol{(1,2)}。

第六章 本章复习总结清单【背诵清单】

1. 零点定义：f(x)=0的实数根；零点是数字，不是坐标点。

f(x)=0\text{有解}\iff \text{函数有零点}\iff \text{图像与}x\text{轴相交}

2. 零点存在定理：连续，f(a)f(b)<0\Rightarrow(a,b)至少1个零点。

⚠️定理不可逆；想要“仅有一个零点”，必须附加单调。

3. 二分法：适用条件；精度\varepsilon含义；计算最少二分次数公式。

重根不能用二分法。

4. 四大函数模型增长快慢排序：

指数＞二次＞一次＞对数。

5. 应用题三步：列式 ⇒ 写明实际定义域 ⇒ 求最值 ⇒ 文字作答。

6. 根的个数问题：

方程f(x)=k实数根数量 = y=f(x)与y=k图像交点个数，图像法是最快解题手段。