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人教A版高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数

一、核心知识点大全

1.根式与分数指数幂

根式转化分数指数幂：n次根号下a的m次方等于a的n分之m次方，条件a大于0。

负指数幂：a的负p次方等于a的p次方分之一。

指数运算法则，前提a大于0，b大于0：

同底数相乘，底数不变指数相加。

同底数相除，底数不变指数相减。

幂的乘方，底数不变指数相乘。

积的乘方，等于各个因式分别乘方再相乘。

避坑提醒：底数小于0的时候，不能随便用分数指数幂运算，做题优先保证底数大于0。

2.指数函数 y等于a的x次方，a大于0且不等于1

定义域是全体实数，值域是大于0的全体实数。

函数恒过定点(0，1)。

单调性：a大于1的时候，函数单调递增；0小于a小于1的时候，函数单调递减。

记忆口诀：底数大于1向上爬坡，底数0到1向下滑落，x取0，y一定等于1。

3.对数概念与运算公式

指数对数互化：a的x次方等于N，等价于x等于以a为底N的对数。

硬性条件：底数a大于0不等于1，真数N必须大于0。负数和零没有对数，这是选择题高频陷阱。

对数四则运算：

两个数乘积的对数，等于两个数分别取对数再相加。

两个数商的对数，等于被除数对数减去除数对数。

一个数的n次方的对数，等于n乘这个数的对数。

换底公式：以a为底b的对数，等于以c为底b的对数除以以c为底a的对数。

推论：以a为底b的对数，等于以b为底a的对数的倒数。

4.对数函数 y等于以a为底x的对数，a大于0不等于1

定义域x大于0，值域全体实数。

函数恒过定点(1，0)。

单调性：a大于1单调递增；0小于a小于1单调递减。

指数函数和对数函数互为反函数，两个函数图像关于直线y等于x对称。

5.函数零点与零点存在定理

零点定义：使函数值等于0的实数，也就是函数图像和x轴交点的横坐标。

零点存在定理：函数在闭区间a到b上图像连续不间断，如果区间两个端点的函数值相乘小于0，那么在开区间a到b之内，至少存在一个零点。

记忆口诀：两端函数值符号相反，中间至少有一个根；两端符号相同，不能判断有没有零点。

二、邪修秒解模板（四类必考题型）

模板1 指数对数互相转化

核心模板：a的x次方等于N，等价于x等于以a为底N的对数。

秒解步骤：找出底数a，找到幂的结果N，指数直接写在对数后面。

例题：3的4次方等于81，转化对数就是以3为底81的对数等于4。

踩坑提醒：真数小于等于0，直接排除答案。

模板2 实数大小比较，考试最高频

邪修三步模板：

第一步，拿数字和0、1对比，分成大于1、0到1之间、小于0三个档次。

第二步，底数相同，直接利用函数单调性判断大小。

第三步，底数真数全都不一样，借用0或者1当做中间量搭桥对比。

速记口诀：先分0和1，同底看增减，不同就搭桥。

例题：比较0.6的0.7次方，0.7的0.6次方，以0.7为底0.6的对数。

先判断：以0.7为底0.6的对数大于1；剩下两个指数值都在0到1之间。再对比两个指数，得出大小顺序。

模板3 指数方程与对数方程

指数方程，两个同底数幂相等，底数a大于0不等于1，直接让指数相等。

对数方程，两个同底数的对数相等，要同时满足三个条件：真数相等，两个真数都大于0。

邪修重点：解对数方程算完结果一定要检验，把解代回去，舍去让真数小于等于0的增根。

模板4 零点判断选择题

模板解题步骤：

第一，算出区间左右两个端点的函数值。

第二，两个端点函数值相乘小于0，区间内至少存在一个零点。

第三，如果相乘大于0，零点存在定理失效，不能确定有没有零点。

第四，想要判断零点总个数，需要结合函数单调性一起分析。

三、课本课后习题秒解套用

习题4‑1

1.把指数式改写成对数式

第一题，5的4次方等于625。秒解：以5为底625的对数等于4。

第二题，2的负6次方等于六十四分之一。秒解：以2为底六十四分之一的对数等于负6。

2.把对数式改写成指数式

第一题，以二分之一为底16的对数等于负4。秒解：二分之一的负4次方等于16。

3.计算求值，以3为底27的对数。

邪修思路：找多少次方等于27，3的3次方等于27，答案就是3。

习题4‑2 指数函数

1.比较大小

第一题，1.7的2.5次方和1.7的3次方。

模板：底数1.7大于1，函数单调递增，自变量越大函数值越大，所以1.7的2.5次方小于1.7的3次方。

第二题，0.8的负0.1次方和0.8的负0.2次方。

模板：底数0.8在0到1之间，函数单调递减，负0.1大于负0.2，所以0.8的负0.1次方小于0.8的负0.2次方。

习题4‑3 对数函数

1.比较大小，以2为底3.4的对数，以2为底3.8的对数。

模板：底数2大于1，对数函数单调递增，所以以2为底3.4的对数小于以2为底3.8的对数。

2.求函数定义域

求y等于以3为底（2x减1）的对数的定义域。

模板：真数必须大于0，2x减1大于0，解得x大于二分之一。

习题4‑4 函数的应用

1.判断零点所在区间

给函数，代入区间端点算函数值，看两个端点乘积是否小于0。

邪修技巧：选择题直接代入选项区间验算，不用完整解方程。

2.实际应用题

第一步：读懂题意，写出函数关系式。

第二步：根据题目条件，确定自变量取值范围。

第三步：利用单调性或者零点定理求解问题。

复习巩固题

1.化简指数根式：直接套分数指数幂公式，把根式全部转为指数，再用运算法则合并。

2.对数混合计算：优先使用对数运算公式拆分，能化简先化简，不要硬算大数。

3.比大小综合题：牢记三步模板，优先拿0、1做分界。

4.零点综合题：先算端点函数值，再结合单调性判断零点数量。

拓广探索题

1.指数对数综合证明：把式子全部转化成同一种形式，利用公式变形。

2.实际模型问题：看清是指数增长还是衰减，区分底数大于1还是0到1。